Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

57 1.6 Mengen Intervalle und Halbgeraden Mit a und b bezeichnen wir reelle Zahlen mit der Eigenschaft a ª b. (a; b) bezeichnet die Menge aller (reellen) Zahlen, die größer als a und kleiner als b sind, d.h. (a; b) = {z * R‡ a < z < b} = {z * R‡ z > a} ° {z * R‡ z < b}. Diese Menge nennen wir das offene Intervall zwischen a und b. Die Zahlen a und b sind nicht Elemente von (a; b). Wir schreiben [a; b) für (a; b) ± {a} und (a; b] für (a; b) ± {b} und nennen diese Mengen die halb- offenen Intervalle zwischen a und b. Wir schreiben [a; b] für (a; b) ± {a, b} und nennen diese Menge das abgeschlossene Intervall zwischen a und b. Es ist [a; b] = {z * R‡ a ª z ª b}. (a; b) a b (a; b] a b [a; b] a b [a; b) a b ( ‒ • ; b] bezeichnet die Menge aller (reellen) Zahlen, die kleiner oder gleich b sind, d.h. ( ‒ • ; b] = {z * R‡ z ª b}. Wir nennen diese Menge die negative Halbgerade mit Anfangspunkt b. Das Symbol ‒ • nennen wir „minus Unendlich“. Beachte, dass ‒ • keine reelle Zahl ist. [a; • ) bezeichnet die Menge aller (reellen) Zahlen, die größer oder gleich a sind, d.h. [a; • ) = {z * R‡ z º a}. Wir nennen diese Menge die positive Halbgerade mit Anfangspunkt a. Das Symbol • nennen wir „Unendlich“. Beachte, dass • keine reelle Zahl ist. [ a; • ) a ( ‒ • ; b] Beispiele: Der Durchschnitt {z * R‡ z º 4} ° {z * R‡ z ª 10} der zwei Halbgeraden [4; • ] und {z * R‡ z ª 10} ist das Intervall [4;10]. Die Vereinigung {z * R‡ z > 4} ± {z * R‡ z ª 10} der zwei Halbgeraden [4; • ) und {z * R‡ z ª 10} enthält alle reellen Zahlen und ist daher gleich R . Der Durchschnitt {z * R‡ z < 4} ° {z * R‡ z º 10} ist die leere Menge. Die Vereinigung {z * R‡ z < 4} ± {z * R‡ z º 10} ist weder ein Intervall noch eine Halbgerade. 425 Beschreibe die Teilmenge reeller Zahlen mithilfe eines Intervalls, einer Halbgeraden oder der Menge aller reellen Zahlen und stelle sie auch auf der Zahlengeraden dar. a. {z * R‡ z º ‒ 6, z ª 3,7} d. {z * R‡ z º 2,25} ± {z * R‡ z ª 2,25} b. {z * R‡ z º 2,25} ± { } e. {z * R‡ z º 2,25} ° {z * R‡ z ª 3,75} c. {z * R‡ z º 2,25} ± {z * R‡ z ª 2,25} f. {z * R‡ z º 2,25} ° {z * R‡ z º 3,75} 426 Arbeitet zu zweit. Eine/einer zeichnet eine Menge am Zahlenstrahl ein. Die/der andere beschreibt die Menge mithilfe eines Intervalls, einer Halbgeraden oder einer passenden Menge. Kontrolliert gemeinsam und tauscht dann die Rollen. offenes Intervall halboffenes Intervall abgeschlos- senes Intervall negative Halbgerade positive Halbgerade b 0 4 10 10 4 0 B , A, B , Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv