Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

41 1.4 Rechnen mit Potenzen 309 Argumentiere, welche der angeführten Rechnungen das gleiche Ergebnis hat. a. (b – a) 2 = b. (‒ a – b) 2 = c. (b – a) 3 = d. (‒ a – b) 3 = A ‒ (a – b) 2 C (a – b) 2 E ‒ (a – b) 3 G (a – b) 3 B ‒ (a + b) 2 D (a + b) 2 F ‒ (a + b) 3 H (a + b) 3 310 Für das Quadrieren von Zahlen in der Nähe von 100 gibt es einen Rechentrick: Beispiele: 103 2 = (100 + 3 ) 2 96 2 = (100 – 4 ) 2 103 + 3 = 1 0 6 96 – 4 = 9 2 3 2 = 0 9 4 2 = 1 6 Ergebnis 1 0 6 0 9 Ergebnis: 9 2 1 6 a. Berechne mithilfe dieses Tricks. I. 101 2 II. 104 2 III. 107 2 IV. 109 2 V. 98 2 VI. 97 2 VII. 94 2 b. Begründe mithilfe der binomischen Formeln, warum dieser Trick stets das richtige Ergebnis liefert. 311 Die Rechnung (3x + 2y) 2 = 9x 2 + 12xy + 4y 2 soll durch nebenstehende Zeichnung veranschaulicht werden. Färbe in dieser Zeichnung die Fläche, die dem Summanden 9x 2 ent- spricht rot, die Fläche, die dem Summanden 4y 2 entspricht grün und die Fläche, die dem Summanden 12xy entspricht blau ein. 312 Recherchiert im Internet den Begriff „Pascalsches Dreieck“. a. Findet heraus, wie man die Zahlen in diesem Dreieck berechnet und zeichnet die ersten 10 Zeilen des Pascal- schen Dreiecks. b. Forscht nach, was das Pascalsche Dreieck mit den binomi- schen Formeln zu tun hat und dokumentiert, wie man mithilfe des Pascalschen Dreiecks die binomische Formel für (a + b) 8 erhält. 313 Kürze   4x 2 + 12x + 9 __  8x 2 – 18 so weit wie möglich.   4x 2 + 12x + 9 __ 8x 2 – 18 =   (2x + 3) 2 __  2(4x 2 – 9) =   (2x + 3) 2 ___  2(2x + 3)(2x – 3) =   2x + 3 __  2(2x – 3)  GeoGebra Faktorisiere [< Ausdruck >] TI Nspire factor( Ausdruck ) 314 Kürze so weit wie möglich. a.   9x 2 + 24x + 16 __ 18x 2 – 32 c.   4x 3 + 12x 2 + 9x __ 4x 3 – 9x e.   2x 3 – 4x 2 + 2x __ 6x 2 – 6 g.   4x 2 – 36 __  2x 2 + 12x + 18 b.   25x 2 – 10x + 1 __ 75x 2 – 3 d.   9x 3 – 42x 2 + 49x ___  9x 3 – 49x f.   16x 3 + 80x 2 + 100x ___ 32x 3 – 200x h.   5x 4 – 20x 2 ___   10x 3 – 40x 2 + 40x 315 Ordne zu, welche Multiplikation zu diesem Ergebnis führt. a. 16x 2 – 25 b. 4x 2 – 40x + 100 c. 4x 2 – 20x + 25 A (4x – 5) 2 B (4x + 5)(4x – 5) C (2x – 5) 2 D (2x – 10) 2 E (2x – 10)(2x + 10) 316 Welche der Ausdrücke können nicht mithilfe einer binomischen Formel als Produkt geschrieben werden? Begründe. A x 2 – 6xy + 9y 2 D a 2 – 6ab – 9b 2 G 9a 6 + 30a 3 + 25 B 16x 5 – 16x 3 y 2 + 4y 4 E 144x 4 – 49y 8 H 25a 6 b 4 + 30a 4 b 5 + 9a 2 b 2 C 64x 2 + 9y 2 F 9u 7 – 16v 5 I 9x 2 – 75xy – 625 D ; B, D ; C ; B, C ; kürzen B ggb/tns bk6i9g B , B , D ; Nur zu Prüfzwe ken – Eigentum des Verlags öbv