Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

40 Zahlen und Rechenregeln 297 Finde durch Ausmultiplizieren der Klammern binomische Formeln. Welche Struktur hat der Klammerausdruck, der jeweils mit (a – b) multipliziert wird? Wie sieht dieser Klammerausdruck bei der nächsten bzw. übernächsten Rechnung aus? a. (a 2 + ab + b 2 )(a – b) = b. (a 3 + a 2  b + ab 2 + b 3 )(a – b) = c. (a 4 + a 3  b + a 2  b 2 + ab 3 + b 4 )(a – b) = 298 Multipliziere aus und fasse zusammen. a. (x + 5) 2 – (x – 5) 2 = c. (3a – 2b) 2 – (3a + 2b) 2 = b. (7 + 3y) 2 – (7 + 3y)(7 – 3y) = d. (2x 3 – 5y 4 ) 2 – (2x 3 – 5y 4 )(2x 3 + 5y 4 ) = 299 Multipliziere mithilfe der binomischen Formeln vorteilhaft aus. a. (x + 3)(x 2 + 9)(x – 3) = b. (4x – 7y)(49y 2 + 16x 2 )(4x + 7y) = 300 Verwende zur Berechnung die binomischen Formeln. a. (4u + v – w)(4u + v + w) = c. (3x – 4y + 2z)(3x – 4y – 2z) = b. (a + 5b + 7c)(a + 5b – 7c) = d. (a – b + c)(a + b + c) = 301 Achte beim Ausmultiplizieren darauf, ob binomische Formeln verwendet werden können. a. (2a + b)(4a 2 + b 2 )(2a – b) + (3a – 2b)(4b 2 + 9a 2 )(2b + 3a) = b. (x – 1)(x 2 – 1)(x + 1) – (2x + 3)(4x 2 – 9)(2x – 3) = c. (4a – 3b)(16a 2 + 9b 2 )(4a + 3b)‒ (3a + 4b)(9a 2 + 16b 2 )(3a – 4b) = 302 Berechne mit den binomischen Formeln. a. (7x 3  y 5 – 4x 2  y) 2 = b. (2a 4  b 2 – 5ab 7 ) 3 = c. (11x 8  y 6  z 3 + 13x 5  y 7  z 9 )(11x 8  y 6  z 3 – 13x 5  y 7  z 9 ) = 303 Berechne. a. ((x + y)(x – y)) 2 = c. ((3a – 4b)(3a + 4b)) 2 = b. (x + y) 2 ·(x – y) 2 = d. (3a – 4b) 2 ·(3a + 4b) 2 = 304 In Aufgabe 303 haben sowohl die Aufgaben a. und b. als auch die Aufgaben c. und d. jeweils das gleiche Ergebnis. Gib an, welche Rechenregel dafür verantwortlich ist. 305 Ergänze auf ein vollständiges Quadrat: 36 x 2 + 84 x + ___ 36x 2 + 84x + __ muss von der Form a 2 + 2ab + b 2 sein. Wir schließen daraus: a 2 = 36 x 2 , also muss a = 6 x sein. 2ab = 84 x. Da a = 6x, muss 2ab = 2·6x· b = 12x·b = 84x sein. Also ist b = 7. Die fehlende Zahl ist b 2 = 7 2 = 49 und es gilt 36x 2 + 84x + 49 = (6x + 7) 2 . 306 Ergänze auf ein vollständiges Quadrat. a. 144x 2 + 72x + ____ c. 49x 4 + 56x 2 + ____ e. 16x 4  y 2 – 40x 3  y + ____ b. 81x 2 + 90x + ____ d. 9x 6 – 24x 3  y + ____ f. 64a 2  b 4 – 48ab 3 + ____ 307 Ergänze die fehlenden Zahlen. a. (3a + __ ) 2 = __ + 30a + __ d. ( __ + 11x 3 ) 2 = 16x 4 + __ + __ b. (7x 2 – __ ) 2 = __ – 84x 2  y + __ e. ( __ – 9y 2  z 3 ) 2 = __ – 90x 2  y 3  z 3 + __ c. ( __ + __ ) 2 = 9x 4 + 48x 2  y + __ f. ( __ – __ ) 2 = __ – 72ab 3 + 81a 2 308 Benutze die binomischen Formel (a + b) 3 = a 3 + 3a 2  b + 3ab 2 + b 3 , um die fehlenden Zahlen zu ergänzen. a. (4 + __ ) 3 = __ + __ + __ + 27x 3 c. ( __ + __ ) 3 = 125 + 75x + __ + __ b. ( __ + 5y) 3 = 8x 3 + __ + __ + __ d. ( __ + __ ) 3 = 8a 6 + __ + 24a 2  b 2 + __ B, D , B , B , B , B , B , B , D ; auf ein voll- ständiges Quadrat ergänzen B B , B , B ; Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv