Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

39 1.4 Rechnen mit Potenzen 286 Zeige die binomische Formel durch Ausmultiplizieren. a. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 b. (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 c. (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 287 Finde eine binomische Formel durch Ausmultiplizieren. a. (a + b) 3 = b. (a + b) 4 = c. (a – b) 3 = d. (a – b) 4 = 288 Überlege, wie die Formeln für (a – b) 3 bzw. für (a – b) 4 aus den Formeln für (a + b) 3 bzw. (a + b) 4 gewonnen werden könnten, ohne erneut ausmultiplizieren zu müssen. Formuliere eine Anleitung. 289 Berechne (3xy 2 – 5x 2  y) 2 . Wir schreiben a für 3xy 2 und b für 5x 2  y. Dann ist (3xy 2 – 5x 2  y) 2 = (a – b) 2 1223245 122232225 a b und (3xy 2 – 5x 2  y) 2 = (3xy 2 ) 2 – 2·3xy 2 ·5x 2  y + (5x 2  y) 2 = 9x 2  y 4 – 30x 3  y 3 + 25x 4  y 2 . 1223245 1223245 122232245 12222222322222245 122232245 a b a 2 2ab b 2 290 Berechne mithilfe der binomischen Formeln. a. (x + 5) 2 = d. (2x 2 – 5x) 2 = g. (2 – y)(2 + y) = b. (y + 3z) 2 = e. (3a 2  b + 6ab 2 ) 2 = h. (x 2 – 3)(x 2 + 3) = c. (4a – 3b) 2 = f. (x + 1)(x – 1) = i. (e 2 + f)(e 2 – f) = 291 Berechne 101 2 – 99 2 ohne die Quadrate zu berechnen. Wir schreiben a für 101 und b für 99. Dann ist 101 2 – 99 2 = a 2 – b 2 = (a – b)·(a + b) = (101 ‒ 99)(101 + 99) = 2·200 = 400. 292 Berechne 23 2 im Kopf. 23 2 = (20 + 3) 2 = 20 2 + 2·20·3 + 3 2 = 400 + 120 + 9 = 529 293 Rechne im Kopf mithilfe der binomischen Formeln. Gib die verwendete binomische Formel an. a. 41 2 – 39 2 = c. 72 2 – 68 2 = e. 22 2 – 15·44 + 15 2 = b. 56 2 = d. 34 2 + 68·26 + 26 2 = f. 203 2 = 294 Für das Quadrieren einer Zahl, die auf ,5 endet, gibt es einen Rechentrick: Beispiele: 3 ,5 2 = 12 ,5 2 = Die nächst größere natürliche Zahl Die nächst größere natürliche Zahl nach 3 ist 4 . nach 12 ist 13 . Rechne: 3 · 4 = 12 Rechne: 12 · 13 = 156 Hänge an das Ergebnis ,25 an! Hänge an das Ergebnis ,25 an! Du erhältst: 3,5 2 = 12,25 Du erhältst: 12,5 2 = 156,25 a. Berechne mithilfe dieses Rechentricks: I.  4,5 2 II.  6,5 2 III.  9,5 2 IV.  7,5 2 V.  11,5 2 VI.  13,5 2 VII.  22,5 2 b. Begründe, warum dieser Rechentrick stets das richtige Ergebnis liefert. Hinweis: Berechne (n + 0,5) 2 und fasse das Ergebnis geschickt zusammen. c. Formuliere diesen Rechentrick so um, dass sich damit beliebige zweistellige Zahlen mit der Einerziffer 5 quadrieren lassen. 295 Berechne im Kopf nach dem Schema 38·42 = (40 – 2)(40 + 2) = 40 2 – 2 2 = 1 600 – 4 = 1 596. a. 19·21 = b. 27·33 = c. 54·46 = d. 16·24 = e. 55·65 = f. 106·94 = 296 Berechne mithilfe der binomischen Formeln. a. (a + 1) 3 = e. (2 x 2 + y 4 ) 3 = b. (2x + y) 3 = f. (8s 4 + t) 3 = c. (2x – 4) 3 = g. (a 3  b 2  c – 2bc 2 ) 3 = d. (4u – 3v) 3 = h. (4x 2 – 3 x 5  y 2 ) 3 = D : D , C ,  ggb/tns b4qt3g B binomische Formeln anwenden B , B binomische Formeln anwenden B binomische Formeln anwenden B, C , B, D ; B ; B , Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv