Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

38 Zahlen und Rechenregeln 283 Berechne. a. 2    x 2 ·y _ z 3   3 3 = b. 2    a 3 ·b _  c 2   3 2 = c. 2    s 2 ·t 2 _ u 3   3 4 = d. 2    x 3 ·y 4 _  z 2   3 4 = e. 2    a 2 ·b 2 _  c 3   3 3 = f. 2    s 4 ·t 3 _  u 2 ·v 3   3 4 = 284 Berechne   2    x 3 ·y 2 _  z 2 3 4 _  2    x 2 _  y 4 ·z   3 3 .   2    x 3 ·y 2 _  z 2   3 4 _  2    x 2 _  y 4 ·z   3 3 =     x 12 ·y 8 _ z 8 _   x 6 _  y 12 ·z 3 =   x 12 ·y 8 _ z 8 :   x 6 _  y 12 ·z 3 =   x 12 ·y 8 _ z 8 ·  y 12 ·z 3 _ x 6 =   x 12 ·y 20 ·z 3 __ x 6 ·z 8 =   x 6 ·y 20 _ z 5 285 Berechne. a.     x 2 ·y 2 _ z 3 _  2    y 2 _  x 3 ·z 4   3 2 = b.   2    a 3 ·b 4 _ c 2   3 5 _ 2    a 3 _  b 2 ·c 4   3 2 = c.   2    r 4 _  s 2 ·t 3   3 3 _ 2   s 2 ·t 4 _ r    3 2 = d.   2    x 4 ·y 2 _ x·z 3   3 5 _ 2    z 5 _  x 4 ·y 3   3 3 = e.   2    a 2 ·b 3 ·c _ c 4   3 3 __ 2    a 2 ·b 3 _ b 5 ·c 2   3 2 = f.   2    r 4 ·t 3 _ s 2 ·t 2   3 3 _ 2    s 5 ·t 2 _  r·s 3   3 5 = Binomische Formeln Die folgenden Rechenregeln für Potenzen heißen binomische Formeln . Man kann sie leicht durch Ausmultiplizieren herleiten. Für beliebige reelle Zahlen a und b gilt: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 Diese drei binomischen Formeln können auch geometrisch interpretiert werden, falls die Zahlen a und b positiv sind. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Wird (a + b) als Länge einer Strecke aufgefasst, so entspricht (a + b) 2 der Fläche eines Quad- rats mit Seitenlänge (a + b). Auf ähnliche Weise können auch die anderen beiden Formeln geometrisch interpretiert werden, wir geben dazu die folgenden zwei Bilder an. (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 Beachte: Die binomischen Formeln können in beide Richtungen gelesen werden. „Ausmultiplizieren“ der Klammerausdrücke verwandelt ein Produkt in Summen bzw. Differenzen. (a + b) 2 ¥ = a 2 + 2ab + b 2 (a – b) 2 ¥ = a 2 – 2ab + b 2 (a – b)(a + b) ¥ = a 2 – b 2 Mit den binomischen Formeln können manche Summen bzw. Differenzen in ein Produkt verwandelt werden, auch wenn Herausheben nicht möglich ist. a 2 + 2ab + b 2 ¥ = (a + b) 2 a 2 – 2ab + b 2 ¥ = (a – b) 2 a 2 – b 2 ¥ = (a – b)(a + b) Für beliebige reelle Zahlen a und b gilt: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 B , Potenz einer Bruchzahl berechnen B B ; ggb/tns r3f3h3 binomische Formeln a 2 Fläche = = (a + b) 2 b 2 a ∙ b a ∙ b a a b a b b b a a ∙ b – b 2 a ∙ b a a b b 2 (a – b) (a – b) Fläche = = ( a – b ) 2 = = a 2 – a ∙ b – – ( a ∙ b – b 2 ) a b a (a – b) (a + b) Fläche = = (a – b) ∙ (a + b) = = a 2 – b 2 b 2 binomische Formeln Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv