Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

33 1.4 Rechnen mit Potenzen 1.4 Rechnen mit Potenzen Ich lerne die Rechenregeln für Potenzen anzuwenden. Ich lerne binomische Formeln herzuleiten und anzuwenden. Ich lerne Zahlen in normalisierte Gleitkommadarstellung umzuwandeln und mit so dar- gestellten Zahlen zu rechnen. Ich lerne Maßzahlen zwischen verschiedenen Einheiten umzurechnen und mit den entsprechenden Zehnerpotenzen darzustellen. Die Potenzschreibweise, die wir für die Zahl 10 schon kennengelernt haben, können wir für alle reellen Zahlen a verwenden. Wir schreiben a 2 für a·a, a 3 für a·a·a, a 4 für a·a·a·a usw. Wir sagen „das Quadrat von a“ oder „a Quadrat“ oder „a hoch 2“ für a 2 ,  „die dritte Potenz von a“ oder „a zur Dritten“ oder „a hoch 3“ für a 3 . Für jede reelle Zahl a und jede positive ganze Zahl n schreiben wir anstatt a·a·a·…·a kürzer a n und und sagen dazu „ die n-te Potenz von a “ oder „ a hoch n “. Wir nennen a die Basis der Potenz und n die Hochzahl oder den Exponenten der Potenz. Wir vereinbaren für jede von 0 verschiedene Zahl a, dass a 0 = 1 ist und für jede Zahl a, dass a 1 = a ist. Weiters definieren wir für jede positive ganze Zahl n und jede von 0 verschiedene Zahl a: a ‒n = ​ 2  ​  1 _ a ​  3 ​ n ​= ​  1 _  ​a​ n ​ ​ Wegen a ‒1 = ​  1 _ a ​können wir dann auch a ‒n = (a ‒1 ) n schreiben. Achtung Beachte, dass das Gleichheitszeichen = nun eine zweite Bedeutung bekommt. Bisher haben wir es verwendet, um zu behaupten, dass zwei Zahlen gleich sind. Zum Beispiel wird mit 1 + 1 = 2 behauptet, dass die Zahlen 1 + 1 und 2 gleich sind. Manchmal werden wir das Zeichen = auch ver- wenden, um neue Schreibweisen oder Worte zu definieren. Mit a ‒n = (a ‒1 ) n legen wir fest, dass das bisher unbekannte Zeichen a ‒n dasselbe wie das schon bekannte Zeichen (a ‒1 ) n bedeutet. Für zwei von 0 verschiedene reelle Zahlen a und b und ganze Zahlen m und n gilt: ​ a ​ n ​· ​ a ​ m ​= ​a​ n + m ​ Potenzen gleicher Basis werden multipliziert, indem die Exponenten addiert werden. ​ ​ a ​ n ​  _ ​ a ​ m ​ ​= ​ a ​ n – m ​ Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem die Exponenten subtrahiert werden. (​a​ n ​ )​ m ​= ​a​ n·m ​ Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden. (a·b​)​ n ​= ​a​ n ​·​b​ n ​ Die Potenz eines Produktes ist gleich dem Produkt der Potenzen. ​ 2  ​ a  _ b ​  3 ​ n ​= ​ ​a​ n ​  _ ​b​ n ​ ​ Die Potenz eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Potenzen. Potenz- schreibweise ​a​ n ​ Basis Exponent Basis Exponent Rechenregeln für Potenzen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv