Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

27 1.3 Rationale Zahlen – Bruchzahlen Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Das Rechnen mit Bruchzahlen wird einfacher, wenn Zähler und Nenner so klein wie möglich sind. Anders gesagt: Tipp Das Rechnen mit Bruchzahlen wird einfacher, wenn Zähler und Nenner bestmöglich, also durch eine möglichst große Zahl, gekürzt werden. Wenn eine natürliche Zahl c das Produkt von zwei natürlichen Zahlen a und b ist, dann heißt c = a·b ein Vielfaches von a und von b und die Zahlen a und b heißen Teiler von c. Wir sagen auch, dass die Zahlen a und b die Zahl c teilen . Ein gemeinsamer Teiler zweier natürlicher Zahlen ist eine natürliche Zahl, die beide teilt. Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, die beide teilt. Für den größten gemeinsamen Teiler der natürlichen Zahlen a und b schreiben wir kurz ggT(a,b) . Kürzen können wir durch gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner. Die größte Zahl, durch die gekürzt werden kann, ist daher der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner. Ein gutes Verfahren zur Berechnung des ggT von zwei positiven natürlichen Zahlen ist der euklidischer Algorithmus. Er war schon vor mehr als 2000 Jahren bekannt. Die Herleitung des euklidischen Algorithmus kannst du in der Online-Ergänzung zu diesem Buch nachlesen. Dort wird gezeigt, dass ggT(a,b) = ggT(a – b,b) ist. Wir können daher statt ggT(a,b) zu berechnen auch ggT(a – b,b) berechnen. Die größere der zwei Zahlen ist dabei kleiner geworden. Das wiederholen wir solange, bis die zwei Zahlen gleich sind. Diese Zahl ist dann ggT(a,b). Gegeben sind zwei positive natürliche Zahlen a und b. Solange a und b verschieden sind, ersetze die größere dieser zwei Zahlen durch die Differenz der größeren und der kleineren. Sobald a und b gleich sind, ist das Verfahren beendet und diese Zahl ist der gesuchte ggT. 182 Berechne den größten gemeinsamen Teiler von 91 und 65. ggT(91, 65) = ggT(91 – 65, 65) = ggT(26, 65) = ggT(26, 65 – 26) = ggT(26, 39) = ggT(26, 39 – 26) = = ggT(26, 13) = ggT(26 – 13, 13) = ggT(13, 13) = 13 Die Berechnung wird in der folgenden Form übersichtlicher: Zahl 1 Zahl 2 bzw. kurz Zahl 1 Zahl 2 91 65 91 65 91 – 65 = 26 65 26 65 26 65 – 26 = 39 26 39 26 39 – 26 = 13 26 13 26 – 13 = 13 13 13 13 183 Berechne den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen. a. 4, 10 b. 12, 16 c. 14, 21 d. 12, 30 e. 18, 24 f. 15, 25 184 Berechne. a. ggT(335, 201) = b. ggT(210, 168) = c. ggT(78, 143) = d. ggT(264, 312) = 185 Berechne den größten gemeinsamen Teiler der drei Zahlen, indem du den ggT von zwei Zahlen bestimmst und dann den ggT dieser Zahl mit der dritten. a. 2, 4, 6 b. 8, 12, 20 c. 10, 12, 24 d. 8, 12, 24 e. 15, 20, 35 f. 8, 20,36 186 Berechne. a. ggT(24, 96, 120, 168) = b. ggT(84, 77, 35, 91) = Vielfaches Teiler größter gemeinsamer Teiler (ggT) Material 9r7j8d euklidischer Algorithmus ggT berechnen B B : B : B , B ; Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv