Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

201  Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ 4 Lineare Gleichungssysteme 4.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten 966. a. Nein, weil I) 4·5 – 6(‒2) ≠ 30 ist. b. Nein, weil II) 11·5 + 7(‒2) ≠ 42 ist. c. Ja, weil I) 5·5 – 9·(‒2) = 43 und II) 7·5 – 11·(‒2) = 57 ist. 967. a. x = 4 und y = 1 Die Probe ergibt: 8·4 – 3·1 = 29 und 5·4 + 6·1 = 26; beides ist richtig. [ I) 8x – 3y = 29 | I + ​  1 _ 2 ​·II II) 5x + 6y = 26 I) ​  21 _ 2  ​x = 42 | : ​  21 _ 2  ​ II) 5x + 6y = 26 I) x = 4 II) 6y = 6 | : 6 I) x = 4 II) y = 1 ] b. x = 1,6 und y = 2,7 Die Probe ergibt: 6·1,6 + 7·2,7 = 28,5 und 5·1,6 – 8·2,7 = ‒13,6; beides ist richtig. c. x = ​  1 _ 3 ​und y = 2 Die Probe ergibt: ​  3 _ 4 ​ · ​  1 _ 3 ​+ ​  1 _ 5 ​·2 = ​  13 _ 20 ​und ​  1 _ 2 ​·​  1 _ 3 ​+ ​  5 _ 6 ​·2 = ​  11 _  6 ​beides ist richtig. 968. a. B b. C c. B d. A 4.2 Modellieren mit linearen Gleichungssystemen 999. C 1000. Es befinden sich 87 Erwachsene und 13 Kinder im Zuschauerraum. [Bezeichnen wir die die Anzahl der Erwachsenen mit E und die Anzahl der Kinder mit K, so sind insgesamt E + K = 100 Zuschauer bei ausverkaufter Vorstellung im Theater. Jeder Erwachsene zahlt 10 €, somit sind die Einnahmen von allen Erwachsenen 10·E€. Jedes Kind zahlt 5€, somit sind die Einnahmen von allen Kindern 5·K€. Die Einnahmen sind also 10·E + 5·K = 935€. Wir lösen das Gleichungssystem I) E + K = 100 und II) 10·E + 5·K = 935 und erhal- ten E = 87 und K = 13.] 1001. Martina ist heute 10 Jahre und Caroline ist heute 6 Jahre alt. [Wir bezeichnen das Alter von Martina mit m, das von Caroline mit c. Vor zwei Jahren waren sie daher m – 2 und c – 2 Jahre alt. Da Martina damals doppelt so alt wie Caroline war, gilt m – 2 = 2·(c – 2). In 2 Jahren sind die beiden m + 2 und c + 2 Jahre alt, und sie sind zusammen 20 Jahre alt, also m + 2 + c + 2 = 20. Wir lösen das Glei- chungssystem I) m – 2 = 2·(c – 2) und II) m + 2 + c + 2 = 20 und erhalten m = 10 und c = 6.] 1002. Der Sachbearbeiter hat 42:48 Stunden ins Inland und 24:36 Stunden ins Ausland telefoniert. [Insgesamt telefoniert der Sachbearbeiter 67:24 Stunden, das ent- spricht 4044min. Bezeichnen wir die Anzahl der Inlandsgesprächs- minuten mit i und die der Auslandsminuten mit a, so ist i + a = 4044. Da eine Minute im Inland 0,015€ kostet, sind die Gesamtkosten für die Inlandsgespräche 0,015·i. Die Kosten für Auslandsgespräche sind 0,095·a€. Also ist 0,015·i + 0,095·a = 178,74. Wir lösen das Glei­ chungssystem I) i + a = 4044 und II) 0,015·i + 0,095·a = 178,74 und erhalten i = 2568min = 42h 48min und a = 1476min = 24h 36min.] 4.3 Lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten 1020.a. x = 3, y = 4 und z = 2 [ I) 2x + 3y + 4z = 26 II) 3x + 5y + 2z = 33 | 2·II – 3·I III) 4x + 3y + 2z = 28 | – III + 2·I I) 2x + 3y + 4z = 26 II) y – 8z = ‒12 III) 3y + 6z = 24 | III – 3·II I) 2x + 3y + 4z = 26 II) y – 8z = ‒12 III) 30z = 60 | : 30 I) 2x + 3y + 4z = 26 II) y – 8z = ‒12 | II + 8·III III) z = 2 I) 2x + 3y + 4z = 26 | ​  1 _ 2 ​·(I – 3·II – 4·III) II) y = 4 III) z = 2 I) x = 3 II) y = 4 III) z = 2 ] b. w = 8,74, x = ‒2,55, y = ‒0,87 und z = 0,77 1021. Klassenfoto: 9€, Passfoto: 5€, Freundschaftsfoto: 10€ [Wir bezeichnen den Preis eines Klassenfotos mit K€, den Preis eines Passfotos mit P€ und den Preis des Freundschaftsfotos mit F€. Es werden 24 Klassenfotos, 26 Passfotos und 6 Freundschafts- fotos für insgesamt 406€ verkauft. Daher ist 24K + 26P + 6F = 406. Ein Freundschaftsfoto ist doppelt so teuer wie das Passfoto, daher ist F = 2P. Ein Klassenfoto kostet mit einem Passfoto gemeinsam um 4€ mehr als ein Freundschaftsfoto, daher ist K + P = F + 4. Wir lösen das Gleichungssystem I) 24K + 26P + 6F = 406, II) F = 2P und III) K + P = F + 4 und erhalten K = 9, P = 5, F = 10.] 4.4 Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten 1046. 1047. a. c. b. d. 1048. Probe: x = ‒2, y = 3 1049. D [Der Graph von f ist die Menge aller Zahlenpaare (x, y) mit y = f(x) = ​  3 _ 2 ​x + ​  1 _ 4 ​ . Daher sind y = ​  3 _ 2 ​x + ​  1 _ 4 ​, 4y = 6x + 1 und – 6x + 4y = 1 Gleichungen des Graphen von f.] B 18 G 0 18 0 x y - 2 - 4 2 4 6 2 0 x y - 2 - 4 2 4 6 2 y 0 x - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 3 - 2 -1 - 3 y 0 x - 3 - 2 -1 1 2 3 1 2 3 - 2 -1 - 3 x y 0 2 4 - 2 2 4 6 I II (0 1 2) (4 1 0) (0 1 6) (-4 1 0) (-2 1 3) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv