Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

199 Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ 2.4 Umformen von Formeln 660. a. s = s 0 + v 0 t +   1 _ 2 at 2 ! – s 0 s – s 0 = v 0 t +   1 _ 2 at 2 ! – v 0 t s – s 0 – v 0 t =   1 _ 2 at 2 ! ·2 2(s – s 0 – v 0 t) = at 2 ! : t 2   2(s – s 0 – v 0 t) __ t 2 = a ! Seiten vertauschen a =   2(s – s 0 – v 0 t) __ t 2 t darf nicht 0 sein. b.   1 _ R =   1 _  R 1 + R 2 +   1 _  R 2 + R 3 ! ·R 1 =   R _  R 1 + R 2 +   R _  R 2 + R 3 ! ·(R 1 + R 2 ) R 1 + R 2 = R +   R(R 1 + R 2 ) __ R 2 + R 3   ! ·(R 2 + R 3 ) (R 1 + R 2 )(R 2 + R 3 ) = R(R 2 + R 3 ) + R(R 1 + R 2 ) ! ausmultiplizieren R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2   2 + R 2 R 3 = RR 2 + RR 3 + RR 1 + RR 2 ! – RR 1 R 1 R 2 + R 1 R 3 – RR 1 + R 2   2 + R 2 R 3 = RR 2 + RR 3 + RR 2 ! – R 2   2 R 1 R 2 + R 1 R 3 – RR 1 + R 2 R 3 = RR 2 + RR 3 + RR 2 – R 2   2 ! – R 2 R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 – RR 1 = RR 2 + RR 3 + RR 2 – R 2   2 – R 2 R 3 ! R 1 herausheben R 1 (R 2 + R 3 – R) = RR 2 + RR 3 + RR 2 – R 2   2 – R 2 R 3 ! : (R 2 + R 3 – R) R 1 =   RR 2 + RR 3 + RR 2 – R 2   2 – R 2 R 3 ____  R 2 + R 3 – R  =   2RR 2 + RR 3 – R 2   2 – R 2 R 3 ___ R 2 + R 3 – R  Die Zahlen R, R 1 + R 2 , R 2 + R 3 und R 2 + R 3 – R dürfen nicht 0 sein. c. α =   ® w – ® 0 _ ® 0   ! · ® 0 α® 0 = ® w – ® 0 ! + ® 0 α® 0 + ® 0 = ® w ! ® 0 herausheben ® 0 ( α + 1) = ® w ! : ( α + 1) ® 0 =   ® w _  α + 1 Die Zahlen l 0 und α + 1 dürfen nicht 0 sein. 661. Die angegebene Umformung ist nicht korrekt, weil im Umfor- mungsschritt ® 2 – ® 1 – α® 1 T 2 = ‒ α® 1 T 1 ! + α® 1 ® 2 – ® 1 – α® 1 T 2 + α® 1 = T 1 die Summe ‒ α® 1 T 2 + α® 1 nicht korrekt berechnet wurde (sie ist nicht T 1 ). 662. a. A =   F _ p , b. 0,25m 2 4 A =   4,5kN _  18kPa =   4500N __  18000Pa = 0,25m 2 5 c. Die Kraft verdoppelt sich. 4 Wenn p =   F _  A ist, dann ist F = p·A. Ist nun p doppelt so groß, dann ist 2p·A = 2F. Also verdoppelt sich die Kraft.  5 d. Der Druck halbiert sich. 4 p =   F _ A . Ist die Fläche doppelt so groß, dann ist   F _  2A =   1 _ 2  ·  F _ A =   1 _ 2 ·p. Also halbiert sich der Druck.  5 e. Bei gleicher Kraft ist der Druck umso größer, je kleiner die Fläche ist. 2.5 Lineare Ungleichungen 685. a. 2a – 9 > 5 ! + 9 2a > 14 ! : 2 a > 7 Die Lösungsmenge ist also {z * R‡ z > 7}, d.h. die positive offene Halbgerade (7; • ). b. 7 – 3b ª 13 ! – 7 ‒3b ª 6 ! : (‒3) b º ‒2 Die Lösungsmenge ist also {z * R ‡ z º ‒2}, d.h. die positive Halb- gerade [‒2; • ). c. 3(5 + 2c) – (10c + 12) > 3 – (3c – 2) ! ausmultiplizieren 15 + 6c – 10c – 12 > 3 – 3c + 2 ! zusammenfassen 3 – 4c > 5 – 3c ! + 3c 3 – c > 5 ! – 3 ‒c > 2 ! ·(‒1) c < ‒2 Die Lösungsmenge ist also {z * R‡ z < ‒2}, d.h. die negative offe- ne Halbgerade (‒ • ; ‒2). d. ‒5d – 7 º   4d + 6 _ 2  ! ·2 2(‒5d – 7) º 4d + 6 ! ausmultiplizieren ‒10d – 14 º 4d + 6 ! – 4d ‒14d – 14 º 6 ! + 14 ‒14d º 20 ! : (‒14) d ª ‒  20 _ 14 ! kürzen d ª ‒  10 _ 7  Die Lösungsmenge ist also {  z * R‡ z ª ‒  10 _ 7    } , d.h. die negative Halbgerade 2  ‒ • ;‒  10 _ 7    5 . 686. a. Die Ungleichung ‒3z + 1 º 4 – (9 + z) wurde richtig gelöst. b. Die Ungleichung (z – 3)·5 < 8z + 2(z – 6) wurde nicht richtig umgeformt. Im Umformungsschritt (z – 3)·5 < 8z + 2(z – 6) ! ausmultiplizieren 5z – 15 < 10z – 6 wurde nicht korrekt ausmultipliziert. Zudem wäre bei der Umformung zu z > ‒  9 _ 5 die Lösungsmenge die positive offene Halbgerade 2 ‒  9 _ 5 ; •  3 687. a. zum Beispiel: Wie viel Getränke kann sich Christoph zu seinem Menü bestellen, wenn er nicht mehr als 15€ bezahlen kann? b. x ª 3,095, das heißt, er kann maximal 3 Getränke bestellen. [8,5 + 2,1 x ª 15 ! ‒8,5 2,1x ª 6,5 ! : 2,1 x ª 3,095] 3 Funktionen 3.1 Was sind Funktionen? 756. A , ( D ), E , F Begründung: A kann als Funktion aufgefasst werden, da jede Person nur eine einzige Körpergröße haben kann. B kann nicht als Funktion aufgefasst werden. Da manche Auto besitzer mehr als ein Auto besitzen, ist diese Zuordnung nicht eindeutig. C kann nicht als Funktion aufgefasst werden. Da eine Mutter meh- rere Kinder haben kann ist diese Zuordnung nicht eindeutig. D Ob die Zuordnung als Funktion aufgefasst werden kann, hängt davon ab, ob der Supermarkt jedem Produkt genau einen Preis zuordnet. Es gibt Supermärkte, in denen gewisse Produkte für eine bestimmte Konsumentengruppe (Kundenkarte!) einen anderen Preis haben. E kann als Funktion aufgefasst werden, da das Doppelte einer Zahl eindeutig ist. F kann als Funktion aufgefasst werden, da jede Person die Karte für einen bestimmten Platz erhält. 757. Definitionsbereich: {Elisabeth, Fabia, Susanne, Sigrid}; Wertebereich: {Rot, Grün, Blau}, Graph: {(Elisabeth, Rot), (Fabia, Rot), (Susanne, Blau), (Sigrid, Grün)} Schülerin Lieblingsfarbe Elisabeth Rot Fabia Rot Susanne Blau Sigrid Grün 758. a. Reaktionsweg: 15m, Bremsweg: 25m und Anhalteweg: 40m [Reaktionsweg = (50 : 10)·3 = 15m; Bremsweg = (50 : 10)·(50 : 10) = 25m; Anhalteweg = 15 + 25 = 40m] b. a mit a(v) =   v _  10 ·3 +   v _  10  ·  v _  10 bzw. a(v) = 0,3v + 0,01v 2 c. a(100) = 130. Das heißt, bei einer Geschwindigkeit von 100km/h beträgt der Anhalteweg 130m. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv