Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

198 Anhang 435. a. Der Durchschnitt {z * R‡ z º 5,7} ° {z * R‡ z ª 5,8} ist das Intervall [5,7; 5,8]. 5,8 5,7 5 b. Der Durchschnitt {z * R | 4 < z < 6} ° {a * R | 5 ª a ª 7} ist das Intervall [5; 6). c. Der Durchschnitt {z * R‡ z < 10} ° [2; 12] ist das Intervall [2; 10). d. Der Durchschnitt {z * R‡ z º – 10 3 , z ª 10 ‒3 } ° {z * R‡ z º 10 – 6 } ist das Intervall [10 ‒6 ; 10 ‒3 ]. 2 Lineare Gleichungen 2.1 Modellieren einfacher Aufgaben durch lineare Gleichungen 477. a. Löse die Gleichung 5(z + 4) – 17 = 48. b. Löse die Gleichung 2z + 1,4z = 19,2. 478. a. „Löse die Gleichung z – 17·3 + 8 = 17“ beschreibt die Aufgabe nicht richtig . Richtig wäre: „Löse die Gleichung (z – 17)·3 + 8 = 17“ b. „Löse die Gleichung 2z +   1 _  10 = 42“ beschreibt die Aufgabe nicht richtig . Richtig wäre: „Löse die Gleichung 2z +   1 _  10 z = 42” 479. a. ‒5 ist keine Lösung der Gleichung. [2(3·(‒5) – 5) – (‒5 + 1) = ‒36 und 12(‒5 – 2) – 6 (‒5 + 1) = ‒60] b. 19 ist eine Lösung der Gleichung. [2(3·19 – 5) – (19 + 1) = 84 und 12(19 – 2) – 6(19 + 1) = 84] 2.2 Äquivalenzumformungen 534. a. Die Umformung ist nicht richtig . Im Schritt 2(u – 3) + 7 = 3u ! ausmultiplizieren 2u – 3 + 7 = 3u wurde falsch ausmultipliziert. Richtig wäre: 2u – 6 + 7 = 3u b. Die Umformung ist richtig . c. Die Umformung ist nicht richtig . Im Schritt ‒5t = 9 ! + 5 t = 14 ist durch ‒5 zu dividieren, statt 5 zu addieren! Richtig wäre also: ‒5t = 9 ! : (‒5) t = ‒  9 _ 5 d. Die Umformung ist nicht richtig . Die Lösung der Gleichung ist ‒2, da 2·(‒2) + 6 = 2 ist. Daher wurde in der 3. Zeile durch x + 2 = ‒2 + 2 = 0 dividiert, was nicht erlaubt ist. 535. 1700 . Im Kopf lässt sich das z.B. so berechnen: 2·10 10 ist das Gleiche wie 20·10 9 20·10 9 – 3·10 9 ergibt 17·10 9 17·10 9 : 10 7 ergibt 17·10 2 , und das ist 1700. 536. 5(x – 1) – 3(x – 4) = 3(x + 2) + 2(x – 4) ! ausmultiplizieren 5x – 5 – 3x + 12 = 3x + 6 + 2x – 8 ! zusammenfassen 2x + 7 = 5x – 2 ! – 2x 7 = 3x – 2 ! + 2 9 = 3x ! : 3 3 = x ! Seiten der Gleichung x = 3 vertauschen 537.   a + 6 _ 3  –   a + 3 _ 4  = 5 ! ·3 a + 6 – 3  a + 3 _ 4  = 15 ! ·4 4(a + 6) – 3(a + 3) = 60 ! linke Seite ausmultiplizieren 4a + 24 – 3a – 9 = 60 ! linke Seite zusammenfassen a + 15 = 60 ! – 15 a = 45 538. B und D Begründung: A Umformen führt auf 6b – 5b – 15 = 2b 2 – 2b – 18. Die Unbekannte bleibt mit Hochzahl 2 „stehen“; die Gleichung kann nicht in eine lineare Gleichung umgeformt werden. B Umformen führt auf 8c + 29 = 242c + 529. Die Gleichung kann in eine lineare Gleichung umgeformt werden. C Umformen führt auf 4a 2 + 13a – 36 = 30a. Die Unbekannte bleibt mit Hochzahl 2 „stehen“; die Gleichung kann nicht in eine lineare Gleichung umgeformt werden. D Umformen führt auf 1 + 2b = 3 + 3b + 2. Die Gleichung kann in eine lineare Gleichung umgeformt werden. 2.3 Textaufgaben 637. Löse die Gleichung (14·8,80 + a·6,20)·1,15 = 8,05(14 + a). a bezeichnet die gesuchte Anzahl der Kilogramm der Sorte Ceylon II. 638. C ist ein geeignetes mathematisches Modell für diese Aufgabe. Begründung: Bezeichnen wir mit t die Zeit (in Stunden), die der PKW bis zum Treffpunkt unterwegs ist, so legt dieser den Weg 80t (in km) zurück. Nachdem das Motorrad 1,5 Stunden später weg- fährt, legt dieses bis zum Treffpunkt den Weg 90(t – 1,5) (in km) zurück. Beide Wege zusammen müssen gleich der gesamten Entfernung von Wien nach Prag, also 250km sein. 639. Der kleinste der Lastwagen muss 18-mal fahren, damit der gesamte Metallschrott abtransportiert ist. Begründung: Wir bezeichnen die Anzahl der Fahrten des kleinsten Lastwagens mit A. Schrottvolumen pro Fahrt Anzahl der Fahrten abtransportiertes Schrottvolumen Lastwagen 1   V _  15 3   V _  15 3 Lastwagen 2   V _  20 2   V _  20 2 Lastwagen 3   V _  25 A   V _  25 A In Summe muss das gesamte Schrottvolumen V abtransportiert werden. Die Aufgabe lässt sich also durch „Löse die Gleichung 3  V _  15 + 2  V _  20  + A  V _  25 = V“ beschreiben. Division durch V liefert zunächst:   3 _  15  +   2 _  20  +   A _  25 = 1 ! –   3 _  15 –   2 _  20   A _  25 = 1 –   3 _  15 –   2 _  20 ! kürzen und ausrechnen   A _  25  =   7 _  10 = 0,7 ! ·25 A = 17,5 Da der Lastwagen keine „halbe Fahrt“ machen kann, muss er 18-mal fahren. 640. Es wurden 42 Sitzplatzkarten verkauft. Begründung: Wir bezeichnen die Anzahl der verkauften Sitzplatz- karten mit s. Dafür wurden 25s€ eingenommen. Laut Angabe wur- den 23 Stehplatzkarten mehr als Sitzplatzkarten verkauft, also s + 23. Dafür wurden 15(s + 23)€ eingenommen. Wir können daher die Aufgabe beschreiben als „Löse die Gleichung 25s + 15(s + 23) = 2025“. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen auf der linken Seite der Gleichung liefert: 40s + 345 = 2025 ! – 345 40s = 1680 ! : 40 s = 42 641. a. 502,95€ [479·1,05 = 502,95] b. 399,17€ 4    479 _ 1,2  = 399,17  5 642. a. in Geschäft B [598·0,965 = 577,07 > 584·0,98 = 572,32] b. um 0,82% 4    572,32 _ 577,07 = 0,9918. Frau Maier zahlt 99,18%, also um 0,82% weniger.  5 5 6 2 10 10 -3 10 -6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv