Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

197 Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ Lösungen zu „Was habe ich gelernt?“ 1 Zahlen und Rechenregeln 1.1 Natürliche Zahlen 35. a. 857 b. 837 c. 79 d. 87 36. a. Es werden täglich 3416 Pakete verschweißt. [20500 : 6 = 3416 + 4] b. Es werden 23 Paletten pro Tag gebraucht. Auf einer befinden sich nur 116 Flaschen. [3416 : 150 = 22 + 116] 1.2 Reelle Zahlen 115. 116. a. 37 [4·13 – 3·5 = 52 – 15 = 37] b. 12 [2 + 3·(4 : (8 – 6)) – (‒2)·(2) = 2 + 3·(4 : 2) + 4 = 2 + 3·2 + 4 = = 2 + 6 + 4 = 12] 117. a. ‒3x + 2y b. 14a – 14b + 20 c. 10x + 2y + 14 118. a. (4a – 2b)(a + 2b) [(2a + 3b)·(4a – 2b) – (4a ‒2b)(a + b) = = (4a – 2b)(2a + 3b – a – b) = (4a – 2b)(a + 2b)] b. (3a – 2)(6a·a – 17a + 9) [(3a – 2)·(3a – 2)·(2a – 4) – (3a – 2)·(a – 1) = = (3a – 2)((3a – 2)(2a – 4) – (a – 1)) = = (3a – 2)(6a·a – 4a – 12a + 8 – a + 1) = (3a – 2)(6a·a – 17a + 9)] 1.3 Rationale Zahlen – Bruchzahlen 226. a. ‒  1 _ 6 4  2    3 _  4 +   1 _ 6   3 ·  6 _  11 –   5 _ 8 · 2    2 _  5 +   2 _ 3   3 = 2    9 _  12 +   2 _  12   3 ·  6 _  11 –   5 _ 8 · 2    6 _  15 +   10 _ 15   3 = =   11 _ 12 ·  6 _  11 –   5 _ 8 ·  16 _ 15 =   1 _ 2 –   2 _ 3 =   3 _ 6 –   4 _ 6 = ‒  1 _ 6   5 b.   5 _ 2 4      2 _ 3 +   1 _ 4 _    1 _  2 –   1 _ 5 ·  9 _  11 =     8 _  12 +   3 _  12 _   5 _  10 –   2 _  10 ·  9 _  11 =     11 _ 12 _    3 _  10 ·  9 _  11 =   11·10·9 __ 12·3·11 =   5 _ 2   5 227. a.   3x + 1 _ x + 1  4  2 3 +   1 _ x   3 ·  x _  x + 1 = 3·  x _  x + 1 +   1 _ x ·  x _  x + 1 =   3x _  x + 1 +   1 _  x + 1 =   3x + 1 _ x + 1    5 b. ‒  6s + 4t _ s + t  4    2s – 4t _ s + t  :   2t – s _  3s + 2t =   2(s – 2t) __ s + t  ·  3s + 2t __  (‒1)(s – 2t)  =   2·(3s + 2t) __  (‒1)(s + t)  = ‒  6s + 4t _ s + t    5 228. a.   2 _ 5 b. ‒  1 _  2 c.   3 _ 7 229. a.   7 _ 8 =   98 _  112 b.   3 _ 5  =   72 _  120 c.   54 _  126 = ‒  ‒3 _ 7  230. a.   3 _  25 b.   25 _ 63 c.   1 _ 8 231. a. ggT(36, 42) = 6, kgV(36, 42) = 252 [ggT(36, 42) = ggT(36, 6) = 6; kgV =   36·42 _ 6  = 6·42 = 252] b. ggT(126, 420) = 42, kgV(126, 420) = 1260 [ggT(126, 420) = | 420 : 126 = 3 + 42 = ggT(126, 42) = | 126 : 42 = 3 + 0 = ggT(42, 0) = 42 kgV(126, 420) =   126·420 __ 42  = 3·420 = 1260] c. ggT(56, 135) = 1, kgV(56, 135) = 7560 232. a. 1,3m [Ist die gesuchte Seitenlänge des quadratischen Feldes s m, dann muss es natürliche Zahlen a und b geben, sodass s·a = 20,8 und s·b = 16,9 ist. Weil s möglichst groß sein soll, müssen a und b möglichst klein sein. Wegen   a _  b =   s·a _ s·b  =   20,8 _ 16,9 =   208 _ 169 erhalten wir a bzw. b, indem wir 208 bzw. 169 durch ggT(208,169) = 13 dividieren Es ist a = 16, b = 13 und s =   20,8 _  16   = 1,3]. b. 208 [16·13 = 208] 233. 4 Packungen Mozartkugeln und 5 Packungen Sissi-Taler. [Die gewünschte Anzahl muss durch 15 und durch 12 teilbar sein. Wir berechnen daher kgV(15, 12) = 60. Es werden   60 _ 15 = 4 Packungen Mozartkugeln und   60 _ 12 = 5 Packungen Sissi-Taler benötigt.] 1.4 Rechnen mit Potenzen 369. a. 10 6 [10 9 ·10 ‒5 ·10 2 = 10 9 – 5 + 2 = 10 6 ] b. a 2 b ‒4 4    a 4 ·b 3 ·a ‒1 __  a 2 ·b 7 ·  1 _ a =   a 3 ·b 3 _ a·b 7 = a 2 ·b ‒4 5 370. a. 8x 3 – 26x 2 + 19x – 10 [(4x 2 – 3x + 2)·(2x – 5) = = 8x 3 – 20x 2 – 6x 2 + 15x + 4x – 10 = 8x 3 – 26x 2 + 19x – 10] b. 11a 2 + 2a – 5 [(5a + 3)(4a – 2) – (3a + 1)(3a – 1) = = (20a 2 – 10a + 12a – 6) – (9a 2 – 1) = 20a 2 + 2a – 6 – 9a 2 + 1 = = 11a 2 + 2a – 5] 371. a. 9a 2 – 24ab + 16b 2 b. 4x 2 + 28xy + 49y 2 c. 2,25r 2 – 6,25s 2 372. x 4 – 4x 3 y + 6x 2 y 2 – 4xy 3 + y 4 373. a. 1,2·10 ‒3 b. 6,25·10 6 c. 4·10 ‒4 374. a. 2,1·10 3 [70000·0,03 = 7·10 4 ·3·10 ‒2 = 21·10 2 = 2,1·10 3 ] b. 6,4·10 ‒8 [0,004 3 = (4·10 ‒3 ) 3 = 4 3 ·10 ‒3·3 = 64·10 ‒9 = 6,4·10 ‒8 ] c. 8·10 6 4    8000·0,12·700 __ 2800·0,00003  =   8·10 3 ·12·10 ‒2 ·7·10 2 ___  28·10 2 ·3·10 ‒5 =   8·12·7 _ 28·3  ·  10 3 ·10 ‒2 ·10 2 __ 10 2 ·10 ‒5 = =   8·12·1 _  4·3  =   10 3 –2+2 __ 10 2 –5 =   8·1·1 _  1·1  ·  10 3 _  10 ‒3 = 8·10 3 – (‒3) = 8·10 6 5 375. 500 μ W < 45mW < 87W < 170kW < 980MW < 12GW 376. a. 2,6·10 4 m [26·10 3 m = 2,6·10 4 m] b. 1,5·10 ‒1 m [15·10 ‒2 m = 1,5·10 ‒1 m] c. 4·10 ‒4 m [0,4·10 ‒3 m = 4·10 ‒4 m] d. 1,6·10 ‒8 m [16·10 ‒9 m = 1,6·10 ‒8 m] 377. a. 71,9m b. 62 μ g [0,000062g = 0,062mg = 62 μ g] c. 24,7ha [247000m 2 = 2470a = 24,7ha] d. 6,3m 3 [6300000cm 3 = 6300dm 3 = 6,3m 3 ] 1.5 Runden und Abschätzen 397. 1000$ [1 Jahr hat 24·365 ≈ 25·400 = = 10000 Stunden 19923619$ : 10000h ≈ 2·10 7 : 10 4 = 2000$/h = 2·10 3 $/h. Die Größenordnung dieser Zahl ist 10 3 oder 1000.] 398. 10 7 4    138,5·365 __ 0,14  ·83,7 ≈   1·10 2 ·4·10 2 __ 1·10 ‒1 ·80 = 4·10 5 ·8·10 1  = 32·10 6  = 3·10 7 5 399. ca. 152 Millionen kg [19·8 = 152] 1.6 Mengen 431. a. {m, o, n, d, a, y, t, u, e, s, w, h, r, f, i} b. {‒14, ‒13, ‒12, ‒11, ‒10, ‒9, ‒8, ‒7, ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} c. {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20} d. {100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222} e. {Frühstück, Mittagessen, Abendessen} 432. a. {Kontinente der Erde} b. {z * Z‡ z ist ein Vielfaches von 7 und † z † ª 21} c. {3 z ‡ z * Z und ‒1 ª z ª 4} 433. B , C , D 434. a. {5, 7} c. {1, 4, 9} e. {2, 5, 7} b. {1, 4, 9} d. {1, 4, 5, 7, 9} f. {1, 2, 4, 5, 7, 9} x -1 1 0 a - a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv