Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

170 Zusammenfassung: Lineare Gleichungssysteme Zusammenfassung Eine Aufgabe der Art „Finde alle Zahlenpaare (x, y) so, dass 2x + 3y = 4,60 und 3x + y = 3,40 ist“ nennen wir ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten . Jedes solche Zahlenpaar (x, y) heißt dann Lösung dieses Gleichungssystems. Die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems heißt Lösungsmenge . Das Gleichungssystem lösen heißt, eine Beschreibung der Lösungsmenge zu finden. Wenn es nur eine Lösung gibt, bedeutet das einfach, dieses Zahlenpaar zu berechnen. Die Zahlen, mit denen die Unbekannten multipliziert werden (also im Beispiel oben 2 und 3 in der ersten Gleichung und 3 bzw. 1 in der zweiten Gleichung) nennen wir die Koeffizienten des Gleichungssystems. Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann keine , beliebig viele oder genau eine Lösung haben. Wenn es genau eine Lösung gibt, wird diese berechnet, indem das Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen auf die Form I) x = a und II) y = b gebracht wird. Wichtige Äquivalenzumformungen sind: Zwei Gleichungen des Gleichungssystems vertauschen. Eine Gleichung des Gleichungssystems durch eine dazu äquivalente Gleichung ersetzen. Eine Gleichung des Gleichungssystems durch die Summe dieser Gleichung und eines Vielfachen einer anderen Gleichung ersetzen. Mit der gleichen Vorgangsweise, aber mit größerem Aufwand, können auch lineare Gleichungs- systeme mit drei oder mehr Gleichungen und drei oder mehr Unbekannten gelöst werden. Wir nennen die Aufgabe „Gegeben sind drei Zahlen a, b und c, dabei ist a oder b nicht 0. Finde eine Beschreibung der Menge aller Zahlenpaare (x, y) mit ax + by = c.“ eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten . Wir schreiben für diese Aufgabe oft kurz: „Löse die Gleichung ax + by = c.“ Die Lösungsmenge der Gleichung ax + by = c ist eine Gerade. Eine Gleichung, deren Lösungsmenge der Graph einer Funktion ist, heißt eine Gleichung (des Graphen) dieser Funktion. Die Gleichung ‒ kx + y = d oder y = kx + d ist eine Gleichung der linearen Funktion f mit f(x) = kx + d. Die Lösungsmenge der linearen Gleichung ax + by = c mit b ≠ 0 ist auch die Lösungsmenge der linearen Gleichung   a _ b x + y =   c _ b , also der Graph der linearen Funktion f mit f(x) = ‒   a _ b x +   c _ b . lineares Gleichungs- system mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten Äquivalenz- umformungen lineare Gleichung mit zwei Unbekannten Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv