Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

167 4.4 Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten 1033 Zeichne die Lösungsmengen der linearen Gleichungen mithilfe einer geeigneten Technologie. Wenn diese Geraden einen Schnittpunkt haben, so zeichne diesen ein und lies die Koordinaten ab. a. 2x + 3y = 4 und x = ‒1 c. ‒ 2x + 3y = ‒1 und ‒ 2x + y = 4 b. ‒ 3x + y = ‒5 und y = 1 d. ​  1 _ 3 ​x + ​  1 _ 5 ​y = 2 und ​  1 _ 5 ​x – ​  1 _ 3 ​y = ​  1 _ 2 ​ Graphisches Lösen eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten Wir können lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten auch (näherungsweise) graphisch lösen. Wenn wir zum Beispiel ein Zahlenpaar (a, b) so finden wollen, dass I) 2a + 3b = 11 und II) 3a +  b = 6 ist, dann können wir die zwei Gleichungen zunächst getrennt betrachten. Die Lösungsmenge von Gleichung I) ist die Gerade durch ​ 2  ​ ​  ​  11 _  2 ​  1  ​0  3 ​ und ​ 2  0​  1  ​  11 _  3 ​  ​ ​  3 ​. Die Lösungsmenge der Gleichung II) ist die Gerade durch die Punkte (0 1 6) und (2 1 0). Die gesuchte Lösung muss sowohl in der Lösungsmenge der ersten Gleichung als auch in der Lösungsmenge der zweiten Gleichung enthalten und daher der Schnittpunkt dieser zwei Geraden sein. Wir wählen ein Koordinatensystem und zeichnen beide Gera- den ein. Dann können wir die Koordinaten des Schnittpunktes durch Abmessen bestimmen. Im Allgemeinen bekommen wir eine recht gute Näherung dieser zwei Zahlen. In unserem Beispiel lesen wir (1 1 3) ab, die Probe zeigt, dass wir die Lösung sogar exakt gefunden haben: 2·1 + 3·3 = 11 stimmt, 3·1 + 1·3 = 6 stimmt auch! Tipp Der Vorteil dieses Verfahrens liegt darin, dass man sich in vielen Fällen rasch ein Bild von der Lösung machen kann. Wenn die zwei Geraden gleich sind, gibt es beliebig viele Lösungen. Wenn sie zueinander parallel sind, gibt es keine Lösung. Der Nachteil ist, dass Abmessen in der Regel keine exakten Ergebnisse bringt. keine Lösung beliebig viele Lösungen  genau eine Lösung 1034 Löse das lineare Gleichungssystem graphisch und überprüfe dein Ergebnis durch eine Probe. I) 3x + 2y = 12 II) 3x – y = 3 Wählen wir in I) x = 0, so erhalten wir den Punkt (0 1 6). Wählen wir y = 0, so erhalten wir den Punkt (4 1 0). Wählen wir in II) x = 0, so erhalten wir den Punkt (0 1 ‒ 3). Wählen wir y = 0, so erhalten wir den Punkt (1 1 0). So können wir die beiden Geraden leicht zeichnen. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist (2 1 3). Probe: I) 3·2 + 2·3 = 12  II) 3·2 – 3 = 3  Die Lösung des Gleichungssystems ist das Zahlenpaar (2, 3). , B, C  ggb/tns p8d4wy x y 0 -1 1 2 4 5 6 3 -1 1 2 4 5 6 II I (1 1 3) (2 1 0) (0 1 6) 11 2 1 0 ( ) 11 3 0 1 ( ) x y 0 - 2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 4 3 x y 0 - 2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 4 3 x y 0 - 2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 4 3 Schnittpunkt ein lineares Gleichungs- system graphisch lösen B, C x y 0 -1 1 2 3 4 5 - 4 - 2 2 4 6 I II (2 1 3) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv