Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

151 4.1 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Lineare Gleichungssysteme mit keiner bzw. mit beliebig vielen Lösungen Nicht jedes Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Es können drei Fälle auftreten: Keine Lösung Beliebig viele Lösungen Eine Lösung I) x + y = 1 II) 2x + 2y = 1 | II – 2·I I) x + y = 1 II) 0 = ‒1 I) x + y = 1 II) 2x + 2y = 2 | II – 2·I I) x + y = 1 II) 0 = 0 I) x + y = 1 II) 2x – y = 5 | I + II I) x + y = 1 II) 3x = 6 I) x = 2 II) y = ‒1 Da für kein Zahlenpaar (x, y) die Zahlen 0 und ‒1 gleich sind, hat dieses Gleichungs- system keine Lösung . Für alle Zahlenpaare (x, y) ist 0 = 0, wir können daher die zweite Gleichung weglassen. Gleichung I und damit das Gleichungssystem hat beliebig viele Lösungen (zum Beispiel (1, 0), (2, ‒1), (3, ‒ 2), …). Dieses Gleichungssystem hat nur das Zahlenpaar (2, ‒1) als Lösung. Es hat also genau eine Lösung . Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten hat entweder keine , eine oder beliebig viele Lösungen. Tipp Um lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zu lösen, können wir so vorgehen: Wir eliminieren zuerst aus einer Gleichung eine Unbekannte, indem wir von dieser Gleichung ein geeignetes Vielfaches der anderen Gleichung subtrahieren. Wenn die neue Gleichung zu 0 = 1 äquivalent ist, hat das Gleichungssystem keine Lösung. Wenn die neue Gleichung zu 0 = 0 äquivalent ist, dann gibt es beliebig viele Lösungen. In allen anderen Fällen besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung. 960 Forme das Gleichungssystem nur so lange um, bis du erkennst, ob es keine, eine oder beliebig viele Lösungen hat. a. I) 3x + 4y = 8 b. I) 3x + 4y = 8 c. I) 3x + 4y = 8 II) 6x + 8y = 16 II) 9x + 12y = 16 II) 9x + 8y = 8 a. I) 3x + 4y = 8 II) 6x + 8y = 16 | II – 2·I I) 3x + 4y = 8 II) 0 = 0 Das Gleichungssystem hat beliebig viele Lösungen. b. I) 3x + 4y = 8 II) 9x + 12y = 16 | II – 3·I I) 3x + 4y = 8 II) 0 = ‒8 Das Gleichungssystem hat keine Lösung. c. I) 3x + 4y = 8 II) 9x + 8y = 8 | II – 3·I I) 3x + 4y = 8 II) ‒ 4y = ‒12 Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung. 961 Forme das Gleichungssystem nur so lange um, bis du erkennst, ob es keine, eine oder beliebig viele Lösungen hat. a. I) 2x + 7y = 12 II) 6x + 21y = 24 b. I)   1 _ 4 x –   5 _ 2 y = 4 II) ‒   1 _ 6 x +   5 _ 3 y = 6 c. I) 3x + 5y = 24 II) 4x – 9y = 11 Anzahl der Lösungen die Anzahl der Lösungen eines Gleichungs- systems bestimmen C B, C , Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv