Mathematik anwenden HUM 1, Schulbuch

15 1.2 Reelle Zahlen Rechenregeln für reelle Zahlen Wir haben die Rechenoperation auf der Zahlengeraden für alle reellen Zahlen festgelegt. Wir überlegen nun, welche Rechenregeln für diese Rechenoperationen gelten. Wir vereinbaren zuerst die folgenden Vorrangregeln: ƒ ƒ Wenn mehrere Rechenoperationen ausgeführt werden, können wir deren Reihenfolge durch Klammern festlegen Beispiel: (1 + 2)·3 = 3·3 = 9  Rechenoperationen über und unter dem Bruchstrich sind immer vor der Division auszuführen Beispiel: ​  3 + 8 _  4 – 1 ​= ​  11 _  3  ​und ​  2·3 _  1 + 4  ​= ​  6 _ 5 ​   Wenn keine Klammern gesetzt werden, ist zuerst die Multiplikation oder Division und dann die Addition oder Subtraktion auszuführen („ Punktrechnung kommt vor Strichrechnung “). Beispiel: 2·3 + 4 = 10 aber 2·(3 + 4) = 14 Achtung Beim mehrfachen Dividieren darf auf das Setzen von Klammern nicht verzichtet werden! Zum Beispiel ist (18/6)/3 = 3/3 = 1, aber 18/(6/3) = 18/2 = 9. Für beliebige drei reelle Zahlen a, b und c gelten die folgenden Rechenregeln. (a + b) + c = a + (b + c) (a·b)·c = a·(b·c) Addieren oder multiplizieren wir drei oder mehr Zahlen, dann kommt es auf die Reihenfolge der Additionen oder Multiplikationen nicht an. Wenn wir nur addieren bzw. nur multiplizieren, können wir auf Klammern verzichten. a + b = b + a a·b = b·a Auf die Reihenfolge der Summanden einer Addition und der Faktoren einer Multiplikation kommt es nicht an. (a + b)·c = a·c + b·c Addiert man zwei Zahlen und multipliziert die Summe mit einer dritten, dann erhält man dieselbe Zahl, wie wenn man die ersten zwei Zahlen zuerst mit der dritten multipliziert und dann addiert. Im Unterschied zu den anderen Rechenregeln, die immer nur eine Rechenoperation betreffen, geht es im Distributivgesetz um das Zusammenwirken von Addition und Multiplikation. Den Übergang von (a + b)·c zu a·c + b·c nennen wir ausmultiplizieren , den Übergang von a·c + b·c zu (a + b)·c nennen wir herausheben . Manchmal sagt man statt „c herausheben“ auch „bezüglich c zusammenfassen“, weil man die Summe von zwei Produkten mit c als ein Produkt mit c schreibt. 62 Berechne (5 – 2·(‒6 + 4)) : 3. (5 – 2·(‒ 6 + 4)) : 3 = | innere Klammer ausrechnen = (5 – 2·(‒ 2)) : 3 = | Punktrechnung vor Strichrechnung = (5 + 4) : 3 = | Klammer ausrechnen = 9 : 3 = 3 63 Berechne. a. 3·(4 – 2) + 3·3 – 4·5 + 1 = c. 5 – (7 + 3·(6 – 5)·2 + 9 – 2)·3 = b. 3·(4 – (2 + 3)·3 – 4·(5 + 1)) = d. 4 + 2 – 3·2 – 5·3 – 4 + 7·4 = 64 Berechne. a. 5 – 7 + 3·6 – 5·2 + 9 – 2·3 = c. 4 + (2 – 3)·2 – 5·(3 – 4) + 7·4 = b. 5 – (7 + 3)·6 – 5·2 + (9 – 2)·3 = d. 4 + ((2 – 3)·2 – 5)·3 – (4 + 7)·4 = Vorrangregeln Assoziativ- gesetz Kommutativ- gesetz Distributiv- gesetz aus- multiplizieren herausheben  ggb/tns p9xm5e B mit Vorrang- regeln rechnen B : B : Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv