Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

95 Lösungen 93. a. < Erwartungswerte und Standardabweichung berechnen und interpretieren 1,55€ 16,1€ 0,775€ b. < Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion model- lieren und interpretieren x 0 10 100 400 F(x) = P(X ª x)   974 _  1000    989 _  1000    999 _  1000  1 X … Höhe des Gewinnes; Fair bedeutet, dass auf lange Sicht keiner gewinnt, also E(X) = 0 ist. Es ist E(X) =   1 _  1000 ·(400 – P) +   10 _  1000 ·(100 – P) +   15 _  1000 ·(10 – P) + +   974 _  1000 ·(0 – P) (P… Eintrittspreis). Der Eintrittspreis ist daher   31 _ 20 €, also etwa 1,55€. Damit 7 Personen einen Gesamtgewinn von 130€ erlangen, gibt es nur die Möglichkeit, dass 1 Person 100€ und 3 Perso- nen 10€ und die anderen 4 Personen 0€ Gewinn erzielen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 2   7  1   3 · 2   7  3   3 ·  10 _  1000  · 2    15 _  1000    3 3 = 0,00082688%. c. < Modellierung mittels Binomial- und Normalverteilung argumentieren Bei einer Binomialverteilung müssten die Gewinnwahrschein- lichkeit konstant sein und ebenso nur zwei Möglichkeiten der Ausprägungen vorhanden sein. Beides ist hier nicht gegeben. Falls noch mehr Personen die Veranstaltung besuchen, kann die Zufallsvariable der Höhe des Gewinnes als Normalvertei- lung modelliert werden, indem die Parameter μ und σ direkt aus den Daten approximiert werden. Im Falle, dass nur die Frage des Gewinnes von Interesse ist, handelt es sich um zwei mögliche Ereignisse, Gewinn oder kein Gewinn. Jedoch ist auch hier nach mehrmaligem Ziehen die Gewinnwahrscheinlichkeit nicht mehr konstant, dies kann bei einer sehr großen Veranstaltung aber vernachlässigt werden. 94. a. < mit der Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung modellieren; die Standardabweichung interpretieren Wendestellen der Gaußschen Glockenkurve Die Wahrscheinlichkeit, dass die Mandibulabreite kleiner als 85 ist, ergibt sich nach der Modellierung mit der Normalver- teilung zu 0,0098. Da sich das Histogramm nur aufgrund von 23 Werten ergeben hat, ist es daher auch sehr unwahrschein- lich, dass eine Person eine Mandibulabreite unter 85mm besitzt. Die Wahrscheinlichkeit von 0,0098 sagt aber aus, dass sich wahrscheinlich eine Person in diesem Bereich befindet, falls zumindest bei 100 Patienten die Mandibulabreite gemessen wird. b. < Aufbereitung von Daten interpretieren; ein Boxplot-Diagramm erstellen D c. < die Darstellungsform des Histogramms anwendungsbezogen argumentieren Die Form des Histogramms mit 6 Klassen kann als annähernd symmetrisch interpretiert werden, bei 3 Klassen geht diese verloren. Im Extremfall kann die Anzahl der Klassen 1 sein, dies hat dann aber keine Aussage mehr; der andere Extremfall ist, dass jeder Datenpunkt einer eigenen Klasse angehört, dann würde aus dem Histogramm ein Stabdiagramm entstehen. Aus die- sem Grund haben sich unterschiedliche Faustregeln für die Anzahl der Klassen bei Diagrammen entwickelt. 95. a. < mit umfangreichen Daten umgehen; graphische Darstellun- gen erstellen 0,6570 b. < den Korrelationskoeffizienten im Sachzusammenhang berech- nen und interpretieren Da aufgrund der Tatsache, dass die Anzahl der Ausleihen von Kindern und die entsprechende Werte der Gesamtausleihen jeweils größer ist, muss sich eine starke Korrelation ergeben. Der Korrelationskoeffizient ist 0,855, dies bedeutet, dass tendenziell je mehr Kinder Bücher ausborgen, auch umso mehr Jugendliche Bücher ausborgen und umgekehrt. c. < aus Daten Möglichkeiten der Komprimierung und Darstellung finden; Korrelation im Sachzusammenhang interpretieren Der Korrelationskoeffizient ist beinahe 1, also sind die Bücher- ausleihen von Erwachsenen und jene gesamt auf einer Gera- den mit positiver Steigung zu finden. Dies bedeutet ferner, dass alleine aus den Zahlen der Ausleihen der Erwachsenen jene der Gesamtausgaben prognostiziert werden können. Es wäre hier noch möglich, einerseits mit Streudiagrammen zu arbeiten oder auch eine lineare Regressionen durchzufüh- ren, um so Prognosen für die Ausleihe von Büchern zu gewin- nen.  x 90 80 110 100 120 85 90 95 100 105 110 115 4 0 8 12 85 90 95 100 105 110 115 0 500 1000 3000 2000 1500 2500 20000 0 40000 5 0 10 15 20 x y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv