Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

94 Lösungen c.  Dies müsste mithilfe von bestimmten Integralen geschehen. n 1 , n 2 seien die negativen Nullstellen von f. Aufgrund der Sym- metrie müsste dann gelten:   :  n 1   n 2     f(x)dx> 0,   :  n 1   n 2     f(x)dx=   :  ‒n 2   ‒n 1   f(x)dx Durch die Lage des Tiefpunkts ergibt sich   :  n 2   ‒n 2   f(x)dx< 0. Daraus folgt: 2  :  n 1   n 2     f(x)dx+   :  n 2   ‒n 2   f(x)dx= 0 und 2  :  n 1   n 2     f(x)dx= ‒  :  n 2   ‒n 2   f(x)dx. Für die Bestimmung der Koeffizienten der Funktionsgleichung von f müsste daher eine Gleichung vom Grad 5 gelöst werden. Aus der zuvor ermittelten Bedingung ergibt sich nach Division durch 2 und unter Verwendung des Absolutbetrags die Behauptung   :  n 1   n 2  †† f(x) † dx=     :  n 2   ‒n 2  † f(x) † dx __  2  , was genau dem beschriebe- nen Sachverhalt entspricht. 10 Stochastik 90. a. < Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufalls variablen berechnen 0,1816 in 16 Stücke b. < die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approxi- mieren und im Sachzusammenhang anwenden Mit zunehmender Zahl von Versuchen nähert sich die diskrete Binomialverteilung immer mehr der Normalverteilung an. Die Biologin sollte also die Anzahl der Versuche erhöhen, oder die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximieren. c. < den Unterschied zwischen Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen und dem Mittelwert einer Stichprobe erkennen, berechnen und interpretieren Stichwörter: Erwartungswert ist eine Kenngröße der Wahr- scheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen; „theoretischer Wert“; Mittelwert wird aus einer gegebenen Stichprobe ermittelt … Der Erwartungswert für ein Stück Kuchen beträgt 8,33 Rosi- nen. Bei einer einzigen Stichprobe entspricht die gefundene Anzahl an Rosinen genau dem Mittelwert. Dieser Wert ist aber ganzzahlig, kann daher gar nicht mit dem Erwartungswert übereinstimmen. Mit zunehmender Anzahl an untersuchten Kuchen ist aber zu erwarten, dass der Mittelwert immer näher an den Erwartungswert rückt. 91. a. < Punktwolken zeichnen; Regressionsgeraden aufstellen und interpretieren und damit Näherungswerte berechnen y = 0,568x – 37,899 63,77kg 2,84kg b. < Klasseneinteilung vornehmen, damit rechnen und interpretieren Klassenbreite Klassen- mitte absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Gruppe 1 110 bis < 130 120 2 14,29% Gruppe 2 130 bis < 160 145 5 35,71% Gruppe 3 160 bis < 190 175 7 50% Klasseneinteilung: arithmetisches Mittel: 156,43cm Liste: arithmetisches Mittel: 151,36cm Bei der Klasseneinteilung ist der Mittelwert größer, da die Personen der Gruppen mit ihren Körpergrößen eher am unteren Rand der Klassenbreite liegen. Der Mittelwert wird mithilfe der Klassenmitte berechnet und ist somit in diesem Fall größer. Wären die Körpergrößen in den einzelnen Klassen- breiten gleich verteilt, wären die Werte ähnlicher. c. < die Angemessenheit verschiedener Regressionsmodelle beurteilen Hubert hat Recht: Mit zunehmender Körpergröße (aber auch zunehmendem Alter) nimmt der Mensch an Gewicht zu. Es gibt aber einen Punkt, wo sich die Zunahme dann einpendelt. Bei einem linearen Zusammenhang würde es weiter konstant steigen. Der Zusammenhang könnte auch durch Funktionen anderen Typs (quadratisch, kubisch, logarithmisch, …) beschrieben werden. Zum Beispiel durch eine logarithmische Darstellung (y = 80,843·ln(x) – 357,05). Stichwörter: Vertikalabstände der gegebenen Punkte zum Funktionsgraphen ablesen; je kleiner die Summe von deren Quadraten ist, umso besser beschreibt die Funktion den Zusammenhang … 92. a. < arithmetisches Mittel berechnen; Erwartungswert anwenden; Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufalls variablen berechnen und erklären 71,33g Erwartunswert = 300·  1 _  50 = 6 Eier 0,2642 Binomialverteilung (zwei Ausgänge „kaputt“ und „okay“; Einzelversuche voneinander unabhängig) b. < Standardabweichung und Wahrscheinlichkeiten einer normal- verteilten Zufallsvariablen berechnen 5g f(x) =   1 _  9 __ 2 π ·5 e ‒  (x –60) 2 __ 2·5 2 X … Masse eines Eis in Gramm; P(X > 50) =   :  50   •   f(x)dx= 0,9772 c. < Histogramm und Boxplot-Diagramm interpretieren und beurteilen zum Beispiel: Für die Erstellung eines Histogramms dürfen keine offene Klassen vorhanden sein. Bei den Gewichts klassen hat sowohl die Gewichtsklasse S als auch die Gewichtsklasse XL eine offene Klasse. Um ein Histogramm zu erstellen, ist es auch sinnvoll, wenn alle Klassen die gleiche Breite haben, also die Eier nicht schwerer oder gleich 83g beziehungsweise nicht kleiner als 43g sind. Minimum: ca. 48g; Maximum: ca. 75,5g; Median (2. Quartil): ca. 60,5g; 1. Quartil: ca. 50,5g; 3. Quartil: ca. 63,5g Stichwörter: Normalverteilung hat eine symmetrische Dichte- funktion um den Erwartungswert; Boxplot-Diagramm zeigt, dass es sich um keine symmetrische Zufallsgröße handelt; für eine Approximation mit der Normalverteilung sind mehr unterschiedliche Eier erforderlich… Größe in cm Gewicht in kg 20 0 40 60 100 120 140 160 180 200 80 0 20 40 60 80 Körpermaße  Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv