Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

93 Lösungen zum Beispiel: Eine Verallgemeinerung ist möglich, wenn die Fläche unter der Kurve, die bestimmt werden soll, in einem Rechteck gezeichnet wird. Dann verhält sich die Fläche des Rechtecks zur Fläche unterhalb der Kurve wie der Anteil der Treffer auf und unterhalb der Kurve. 9 Funktionale Zusammenhänge 86. a. < Eigenschaften von Polynomfunktionen bestimmen 7,5 Milliliter pro Liter Blut [0h; 4,40h] b. < Differentialgleichung zur Berechnung von besonderen Stellen verwenden Um den maximalen Anstieg der Konzentration des Medika- ments zu bestimmen, ist die Wendestelle zu ermitteln. Der maximale Anstieg ist 0,854. Das Maximum des Betrages des Anstiegs ergibt sich am Rand des zulässigen Bereiches, dort ergibt sich kein relatives Mini- mum. c. < das bestimmte Integral im Sachzusammenhang interpretieren   1 _ 4 :  0   4 f(t)dt =   33,093 _ 4  = 8,273 Milliliter pro Liter Blut, da die Fläche gleichmäßig innerhalb der Zeitspanne aufgeteilt wird. 87. a. < eine quadratische Gleichung aufstellen und lösen; einen Funktionsgraphen zeichnen; Geschwindigkeit als Ableitung des Weges berechnen 7,5% 51,12km/h b. < den Zusammenhang zwischen quadratischer Funktion und quadratischer Gleichung erklären; Eine quadratische Funktion ist eine Funktion von R nach R , die jeder Zahl x die Zahl ax 2 + bx + c zuordnet (a ≠ 0, b, c * R ). Die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 ist die folgende Aufgabe: Gegeben sind drei reelle Zahlen a ≠ 0, b und c, gesucht sind alle reellen Zahlen x mit ax 2 + bx + c = 0. Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 lösen ist dasselbe wie die Nullstellen der Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c berechnen. Die Polynomfunktion hat drei Nullstellen (‒12,28; 0; 50,74), zwei Extremstellen (‒6,47, Tiefpunkt; 32,11, Hochpunkt) und eine Wendestelle (12,82). An der Extremstelle ist die erste Ableitung der Funktion 0, da die Tangente an dieser Stelle waagrecht ist. Die zweite Ablei- tung ist jedoch ungleich 0, da die Funktion entweder nach rechts gekrümmt (Hochpunkt) oder nach links gekrümmt (Tiefpunkt) ist. Bei der Wendestelle ist die zweite Ableitung 0, da an dieser Stelle die Funktion die Krümmung wechselt. c. < eine Gleichung aufstellen und lösen 3,75m zum Beispiel: anderes Investment mit dem Verkaufserlös… 88. a. < Informationen in einem Koordinatensystem darstellen; eine quadratische Funktion durch Interpolation bestimmen; eine Vermessungsaufgabe mithilfe des Tangens lösen f mit f(x) = ‒0,23x 2 + 0,95x + 4 0,67m b. < Funktionswerte einer quadratischen Funktion berechnen etwas niedriger als 4,65m um ca. 47cm c. < den Einfluss der Koeffizienten einer quadratischen Funktion auf ihren Graphen interpretieren und graphisch darstellen Den Graph von f mit f(x) = ax 2 + bx + c erhält man, indem man den Graphen der Funktion g mit g(x) = ax 2 so verschiebt, dass (0 1 0) in den „Scheitelpunkt“ 2    ‒  b _  2a   1  c –   b 2 _ 4a   3 verschoben wird. Der Punkt 2    ‒  b _  2a    1  c –   b 2 _  4a   3 ist ein Hochpunkt, wenn a negativ ist und ein Tiefpunkt, wenn a positiv ist. 89. a.  f(x) = ‒  1 _  512 x 4 +   5 _  32 x 2 – 2 Die Gleichung f’ (x) = ‒  1 _  128 x 3 +   5 _  16  x = 0 besitzt 3 Lösungen {±2 9 __ 10; 0}, also gibt es höchstens 3 Extremstellen. f’’(x) = ‒  3 _  128  x 2 +   5 _  16  ist für x = 0 größer 0, für ±2 9 __ 10kleiner 0. Es existieren also genau 3 Extremstellen. b.  f’’ ist eine quadratische Funktion mit 2 Nullstellen, daher exis- tieren möglicherweise auch 2 Wendepunkte. Notwendig für das Vorliegen eines Wendepunktes ist die Existenz einer Nullstelle der 2. Ableitung. Hinreichendes Kriterium ist, dass die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Im Allgemeinen muss jedoch die erste ungerade Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 sein. Das könnte nur funktionieren, wenn die Polynomfunktion 4. Grades nicht symmetrisch ist. t in Stunden f(t) in mø/ø Blut 0 2 4 6 8 10 5 5,5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 f s in Sekunden s(t) in Meter 0 2 6 8 10 12 4 1 5 7 9 11 3 0 20 40 60 80 100 120 140 x in m y in m 1 0 2 3 5 4 0 2 1 3 5 4 Torbogen Pfeiler Pfeiler x in m y in m 1 0 -1 2 3 5 4 1 2 3 4 5 x in m y in m -1 -2 -3 0 1 3 2 1 2 3 4 5 x y 0 -4 -8 -8 8 4 -4 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv