Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

91 Lösungen Mit 90%iger Wahrscheinlichkeit liegt der Durchmesser einer zufällig ausgewählten Cannellone zwischen 26,7mm und 33,3mm. b. < relative Häufigkeit berechnen und interpretieren; die Modellierung mithilfe einer normalverteilten Zufallsvariablen begründen Standort A: 4%; Standort B: 3,7% Gesetz der großen Zahlen: Die relativen Häufigkeiten eines Zufallsereignisses stabilisieren sich um die theoretische Wahr- scheinlichkeit eines Zufallsergebnisses. Die Maße der Durchmesser unterliegen einer stetigen Verän- derung. c. < Stichprobengröße einer normalverteilten Zufallsvariable ermitteln; Wahrscheinlichkeiten anhand der Gaußschen Glockenkurve argumentieren 348 Cannelloni zum Beispiel: Die Fläche unter der Kurve beschreibt die Wahrscheinlichkeit. An einem Punkt entsteht ein Strich, aber keine Fläche. Somit ist die Wahrscheinlichkeit 0. Außerdem kann man bei einer äußerst genauen Messung immer eine Abweichung erkennen. Es kommt nur auf die Messgenauig- keit an. 78. a. < mit der Binomialverteilung modellieren, ihre Anwendung begründen und Wahrscheinlichkeiten berechnen 0,19117 0,70794 Stichwörter: zwei Ereignisse: „stehen bleiben“ oder „bei Rot fahren“; Wahrscheinlichkeit bei Rot zu fahren: 9%; mehrere Rotphasen … b. < die Modellierung mithilfe der Normalverteilung begründen; Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontext- bezogen interpretieren Stichwörter: der Reaktionsweges hängt von vielen kleinen Einflüssen ab, die den Weg jeweils additiv beeinflussen; kein Einflussfaktor übernimmt eine vorherrschende Rolle, daher kann der Reaktionsweg durch eine normalverteilte Zufalls variable modelliert werden … 0,15866 c. < mit der Normalverteilung modellieren; Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Ergebnisse kontextbezogen interpretieren A ~ N(40; 13) Die Zufallsvariable des Anhalteweges A ist die Summe aus der Zufallsvariable R des Reaktionsweges und der Zufallsvariable B des Bremsweges, beide sind voneinander unabhängig. Dann ist die Zufallsvariable A des Anhalteweges ebenso normalverteilt mit μ = 15 + 25 = 40m und mit der Varianz σ 2 = 2 2 + 3 2 = 13m 2 , also der Standardabweichung von 9 __ 13m. Die Wahrscheinlichkeit ist 0,99723, daher befindet sich der Anhalteweg fast sicher im Bereich 30m bis 60m. 79. a. < Wahrscheinlichkeiten binomialverteilter Zufallsvariablen berechnen; ein Baumdiagramm zeichnen und beschriften b … besitzt ein Smartphone, bn … besitzt kein Smartphone 0,9818 b. < Wahrscheinlichkeit und Gegenwahrscheinlichkeit gegenüber- stellen; die Additions- und Multiplikationspfadregel erklären „direkte Berechnung“: P(X º 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) Berechnung über die Gegenwahrscheinlichkeit: P(X º 1) = 1 – P(X = 0) Multiplikationsregel: Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ausgangs erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten über den Ästen des Pfades, der zu diesem Ausgang führt, mit- einander multipliziert (bedingte Wahrscheinlichkeit). Additi- onspfadregel: Erreicht man ein Ereignis E eines mehrstufigen Zufallsexperimentes auf verschiedenen Pfaden, so erhält man die Wahrscheinlichkeit von E durch Addition der zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten. Je mehr Pfade zum Ereignis führen, umso höher ist die Wahrscheinlichkeit. Das Gegenereignis von „mindestens 1 Smartphone“ ist „kein Smartphone“. X … Anzahl der Smartphones mindestens 1 Smartphone: P(X º 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,08 3 höchstens 1 Smartphone: P(X ª 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,08 3 + 2    3 1   3 ·0,92·0,08 2 c. < Wahrscheinlichkeitsberechnungen diskreter und stetiger Zufallsvariablen verstehen; die Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung argumentieren Stichwörter: diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion, keine Flächenberechnung … Stichwörter: für die Approximation darf n nicht zu klein und p nicht zu nahe bei 0 bzw. nicht zu nahe bei 1 sein; p = 0,92 also sehr nahe bei 1, n müsste sehr groß sein; anders formu- liert: Varianz n·p·(1 – p) muss größer 9 sein; bei Schule A wird dies erreicht, bei Schule B ist die Varianz 4,42 und viel kleiner als 9 … Es wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung gezeichnet und festgestellt, ob diese nahezu symmetrisch um den Erwar- tungswert μ = 55,2 ist. Das ist hier nicht der Fall. 80. a. < Wahrscheinlichkeiten dem Additionssatz für nicht aus schließende Ereignisse berechnen und interpretieren P(X krank) = 0,100 + 0,011 + 0,008 + 0,001 = 0,12 P(X oder Y krank) = 0,100 + 0,063 + 0,011 + 0,008 + 0,005 + + 0,001 = 0,188 P(X oder Y krank) = P(X krank) + P(Y krank) – P(X und Y krank) = = 0,12 + 0,08 – 0,012 = 0,188 b bn b b bn bn b bn b b bn bn b b 0,92 0,92 0,08 0,92 0,08 0,08 0,92 0,08 0,92 0,92 0,08 0,08 0,92 0,08 x 45 40 55 50 60 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv