Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

9 Algebra und Geometrie 3 Problem der 100 Vögel Das „Problem der 100 Vögel“ ist eine Aufgabe, die ursprünglich aus dem Arithmetischen Handbuch von Chang Ch’iu-chien (um 475 n.Chr.) stammt und wie folgt lautet: Ein Hahn kostet 5 sapek, eine Henne 3 sapek und drei Küken kosten 1 sapek. Wie viele Tiere werden von jeder Art gekauft, wenn um insgesamt 100 sapek 100 Tiere gekauft werden? a. Nehmen Sie zusätzlich an, dass 75 Küken gekauft werden. Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem die Anzahl der gekauften Tiere pro Art berechnet werden kann. Ermitteln Sie graphisch die Lösung des linearen Gleichungssystems. Bestimmen Sie auch rechnerisch die Lösung des Gleichungssystems. b.  Stellen Sie für das ursprüngliche „Problem der 100 Vögel“ ein System von zwei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten auf. Formen Sie dieses Gleichungssystem (mit den Unbekannten x, y, z) in ein äquivalentes der Form ax + by = c um. Interpretieren Sie die Lösungsmenge von ax + by = c graphisch. Bestimmen Sie alle möglichen sachgerechten Lösungen des „Problems der 100 Vögel“. c. Nehmen Sie an, dass genau ein Hahn gekauft werden soll. Argumentieren Sie, warum es unter dieser Voraussetzung keine sachgerechte Lösung gibt. Nehmen Sie an, dass genau 11 Hennen gekauft werden sollen. Argumentieren Sie, warum es unter dieser Voraussetzung genau eine Lösung gibt und diese sachgerecht ist. 4 Von Friesach nach Wien Frau Gileg muss so rasch wie möglich von Friesach in Kärnten nach Wien und wieder retour. Um die Reise mit dem Flugzeug anzutreten, muss sie zuerst 45km von Friesach nach Klagenfurt fahren. Die Strecke kann sie mit ihrem PKW mit einer mittleren Geschwindigkeit von 75km/h zurücklegen. Die Flugstrecke von Wien nach Klagenfurt beträgt 235km. Beim Hinflug hat das Flugzeug Rückenwind und beim Rückflug Gegenwind von einer Windstärke von 12m/s. Die gesamte Flugdauer beträgt 100min. Der Flughafen bei Wien befindet sich in Schwechat, daher hat sich Frau Gileg einen Mietwagen organisiert und fährt die Strecke (16km) mit einer mittleren Geschwindigkeit von 115 km/h. Für das Einchecken und Auschecken am Flughafen wird jeweils eine Stunde benötigt. a.  Berechnen Sie die mittlere Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges. Ermitteln Sie die Gesamtdauer von Hin- und Rückflug Wien–Klagenfurt bei Windstille. b. Neben der Nutzung des eigenen PKW, des Flugzeuges und eines Mietwagens hat Frau Gileg auch die Möglichkeit, gleich direkt mit ihrem PKW von Friesach nach Wien und retour zu fah- ren. Die einfache Fahrstrecke beträgt mit dem PKW 260 km. Auf dieser legt sie eine Rast von einer Stunde ein. Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit, die Frau Gileg fahren müsste, damit sie mit dem PKW mindestens genauso schnell ist wie mit der Kombination Auto und Flugzeug. Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. c. Frau Gileg würde für die Fahrt mit dem PKW (einfache Fahrtstrecke 260km) nach 80min eine Pause von 30min einplanen. Sie kann aber auch die Bahn von Friesach nach Wien und retour (einfache Bahnstrecke 271 km) verwenden. Sie muss dann zu Fuß 1,2 km zum Bahnhof mit einer Geschwindigkeit von 4 km/h gehen. Der direkte Zug fährt um 12:22Uhr von Friesach weg und erreicht Wien um 15:43Uhr, dies ist die einzige Möglichkeit, den Termin in Wien um 18:00Uhr wahrzunehmen. Weisen Sie nach, dass es einen Zeitpunkt nach der Zugabfahrt gibt, zu dem Frau Gileg von Friesach mit dem PKW wegfahren könnte, und dennoch pünktlich zum Termin in Wien wäre. Nehmen Sie dabei an, dass ihre mittlere Geschwindigkeit vor der Pause 95km/h und nach der Pause 90 km/h beträgt. Argumentieren Sie anhand des Entscheidungskriteriums Zeit, ob Frau Gileg mit der Bahn oder mit dem PKW fahren sollte. Frau Gileg hat erfahren, dass die CO 2 -Emission beim Personenkraftwagen viel höher ist als bei einer Fahrt mit der Bahn. Sie möchte daher drei Freundinnen nach Wien mitnehmen. Argumentieren Sie anhand des Entscheidungskriteriums CO 2 -Emission, ob Frau Gileg mit der Bahn oder mit dem Personenkraftwagen fahren sollte, wenn bekannt ist, dass die CO 2 -Emmision beim PKW 307g/km und mit der Bahn pro Person und pro km 40g beträgt. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv