Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

86 Lösungen 59. a. < eine lineare Regressionsfunktion berechnen und damit Näherungswerte ermitteln f mit f(x) = 1,91x + 2,82 y 5 ≈ 6,6364 b. < eine quadratische Regressionsfunktion berechnen und damit Näherungswerte ermitteln; das Bestimmtheitsmaß bestim- men und interpretieren g mit g(x) = 3,75x 2 – 5,25x + 3,5 Der Schätzwert entspricht nur dann dem beobachteten Wert, wenn die Regressionsfunktion genau durch den Punkt geht. zum Beispiel: Das Bestimmtheitsmaß bei der linearen Regres- sion ist 0,483 und bei der quadratischen Regression 0,9759; daher ist der quadratischen Regression der Vorzug zu geben. c. < den Korrelationskoeffizienten interpretieren Der Korrelationskoeffizient ist 1, wenn alle Datensätze auf einer steigenden Geraden liegen. Die Gerade geht durch die Punkte (0 1 4) und (1 1 2) und ihre Gleichung ist y = ‒2x + 4. Die Steigung ist ‒2, es kann daher keinen positiven Korrelations- koeffizienten geben. Die Gerade geht durch die Punkte (0 1 4) und (1 1 2) und ihre Gleichung ist y = ‒2x + 4. Sie hat eine negative Steigung. Wenn die Zahlen x 1 , x 3 , y 3 und y 5 so gewählt werden, dass sie auf die- ser Geraden liegen, dann ist der Korrelationskoeffizient ‒1. x 1 = ‒2, y 5 = 0 und zum Beispiel: x 3 = 3, y 3 = ‒2 60. a. < Spannweite und Quartilsabstand berechnen; ein Boxplot-Diagramm erstellen; die Begriffe Minimum, Maximum und Quartile erklären Spannweite: 145; Quartilsabstand: 57,5 Das Minimum gibt den niedrigsten Taschengeldbetrag (25€) an, das Maximum den höchsten Betrag (170€), den ein Kind für die Reise bekommen hat. Durch die Quartile erhält man folgende Informationen: Es bekommen mindestens 25% der Jugendlichen max. 47,10€, mindestens 50% erhalten max. 77,50€, mindestens 25% erhalten sogar mehr als 105€. b. < Vor- und Nachteile der Darstellung von Daten mithilfe eines Boxplot-Diagramms erkennen und anderes Darstellungs formen nennen zum Beispiel: Das Boxplot-Diagramm zeigt, dass ein Großteil der Schüler und Schülerinnen (75%) maximal 65€ ausgeben. Höhere Beträge werden seltener und von weniger Personen ausgegeben. Das erkennt man am rechten Teil der Grafik. Nur 25% der Schüler und Schülerinnen geben zwischen 65€ und 135€ aus. Nach oben gibt es Ausreißer. Außerdem sind 5 Werte aussagekräftiger als 1 Wert. zum Beispiel: Das Boxplot-Diagramm stellt eine eindimensio- nale Auswertung dar. Da es sich um eine „je-desto-Aussage“ handelt, würden Paare von Merkmalen benötigt werden, also ein Streudiagramm. Die Behauptung ist auf Basis der gegebe- nen Daten nicht möglich. Streudiagramm c. < Klasseneinteilungen von Daten vornehmen und damit argumentieren 3 Klassen: Klasse Anzahl Relative Häufigkeit [0; 60) 7 35% [60; 120) 9 45% [120; 180) 4 20% 6 Klassen: Klasse Anzahl Relative Häufigkeit [0; 30) 1 5% [30; 60) 6 30% [60; 90) 5 25% [90; 120) 4 20% [120; 150) 3 15% [150; 180) 1 5% Die Schülerin sollte die Einteilung der 3 Klassen verwenden. Dort gehört Sie zu jener Gruppe, die das geringste Taschen- geld bekommt. Bei der Einteilung in 6 Klassen würde sie nicht zur Gruppe mit dem geringsten Taschengeld gehören. zum Beispiel: Gehört zu jener Gruppe mit dem geringsten Taschengeld; 65% der Schülerinnen und Schüler bekommen mehr Taschengeld … 61. a. < ein Streudiagramm zeichnen und interpretieren; den Korrela- tionskoeffizienten ermitteln und interpretieren ‒0,722 Das Streudiagramm deutet auf keinen linearen negativen Zusammenhang zwischen der Konzentration in Mol/ ® und der Zeit in Minuten hin, da die Punkte nicht annähernd auf einer Geraden liegen. b. < die quadratische Regressionsfunktion ermitteln erklären, ob die Anpassung geeignet ist y(t) = 0,08818·t ‒0,77558 Die Funktion y(t) = a·t b kann nur dann verwendet werden, wenn der Wert für t = 0 nicht berücksichtigt wird, daher ist die Anpassung nicht geeignet. c. < Regression erklären, bestimmen und die Ergebnisse interpretieren Durch Multiplikation mit (1 + bt) erhalten wir aus y(t) =   a _  1 + bt : (1 + bt)·y(t) = a und 1 + bt =   a _  y(t)  und bt =   a _  y(t)  – 1 und daher t(y) =   a _ b ·  1 _  y –   1 _ b ; also müsste ein Gerade ersichtlich sein, wenn t gegenüber   1 _ y aufgetragen wird. Das Streudiagramm zeigt einen linearen Verlauf. Die lineare Regressionsfunktion in der neuen Konstellation ist t mit t(y) =   a _ b ·  1 _ y –   1 _ b = 0,25988·  1 _ y – 0,680249 und daher b = 1,47 und   a _ b = 0,25988, also a = 0,25988·1,470 = 0,382. 50% 25% 25% aller Werte 20 60 80 100 120 140 160 180 40 Minimum (kleinster Wert) q1 q2 = Median q3 Maximum (größter Wert) t y(t) 0,01 0 0,02 0,03 0,04 90 120 150 180 60 30 0 1/y t(y) 0 40 80 120 160 200 600 800 400 200 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv