Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

84 Lösungen b. < die Gewinnfunktion als Differenz der Erlös- und Kosten funktion interpretieren; Graphen interpretieren Die Gewinnfunktion kann durch die punktweise Subtraktion von Erlösfunktion und Kostenfunktion ermittelt werden. Bei den Schnittpunkten der Kostenfunktion und Erlösfunktion ist die Gewinnfunktion gleich 0. Bei 0 ist die Gewinnfunktion gleich den negativen Fixkosten. Der Break-Even-Point kennzeichnet die Gewinnschwelle. Ab dieser Stelle gibt es (bis zur oberen Gewinngrenze) einen Gewinn. Man bildet das arithmetische Mittel der Gewinngrenzen a und b:   a + b _ 2  c. < Auswirkungen von Veränderung der Fixkosten und des Verkaufspreises analysieren Die untere Gewinngrenze wird bereits bei einer kleineren Stückzahl erreicht, die obere Gewinngrenze bei einer größe- ren Stückzahl. Der Gewinnbereich wird größer. G(16) = 0 É E(16) – K(16) = 0 É (145 + x)·16 – (0,035·16 3 + 0,71·16 2 + 10,14·16 + 2040) = 0 É x = 12,96€; Der Preis muss um 12,96€ erhöht werden. zum Beispiel: geringere Motivation der Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter, schlechteres Arbeitsklima, weniger Investitionen, weniger Budget für Werbung … 53. a. < Kostenfunktionen analysieren 1€ Die Kostenfunktion ist im nicht-negativen Bereich monoton wachsend, positiv und hat eine Kostenkehre. Vor der Kosten- kehre ist die Funktion degressiv, also die zweite Ableitung kleiner 0, und danach progressiv, also die zweite Ableitung größer 0. 0,7 Schnitten b. < das Betriebsminimum sowie das Betriebsoptimum berechnen, interpretieren und im Kontext argumentieren 1,12ME existiert nicht [Das Betriebsoptimum ist ein Minimum von _ Kmit _ K (x) =   x + e ‒x 2 _  x  ; dieses existiert nicht.] c. < typische Kostenverläufe (progressiv und degressiv) interpretieren Die erste Ableitung der Kostenfunktion ist K’ mit K’(x) = 2a(x + 1) +   b _  (x + 1) 2 und die zweite Ableitung ist K’’ mit K’’(x) = 2a – 2·  b _  (x + 1) 3 ; die Kostenkehre ist eine Nullstelle der zweiten Ableitung der Kostenfunktion, also: x = 3 9 _   b _ a  – 1 w   b _ a > 1, also b > a. Weiters muss die erste Ableitung immer positiv sein, also 2a(x + 1) +   b _  (x + 1) 2 > 0; Multiplikation mit (x + 1) 2 ergibt: 2a (x + 1) 3 + b > 0 nun gilt aber gleichzeitig b > a, also 2a (x + 1) 3 + a > 0 und daher muss a > 0 sein. 54. a. < Fixkosten berechnen; das Gewinnmaximum berechnen und die Ergebnisse im Kontext argumentieren 2.395,60€ Ab 262 Laptoptaschen ist der Gewinn positiv und hängt nur von der Produktionsgrenze ab. b. < Kostenfunktion aufstellen; das Betriebsoptimum berechnen K mit K(x) =   361 _  4950 x 2 +   38716 _ 495  x + 4000 234,2ME c. < variable Stückkostenfunktion aufstellen; das Betriebsoptimum und Betriebsminimum interpretieren und damit im Kontext argumentieren _ K v (x) =   3061 __  13860000 x 2 –   81937 _  462000 x +   17569 _ 126  401,52 Laptoptaschen Beim Betriebsminimum von 401,52 Taschen ergibt sich eine kurzfristige Preisuntergrenze von 103,82 Euro/Tasche; es liegt also bei diesem Preis ein Grenzbetrieb vor. 55. a. < Funktionsgraphen einer stückweise definierten Funktion zeichnen; Betriebsoptimum und Betriebsminimum berechnen 80 Hüte 80 Hüte b. < den Break-Even-Point und das Gewinnmaximum berechnen und die Ergebnisse im Kontext interpretieren bei 60 Hüten 80 Hüte 1,33GE c. < das Gewinnmaximum berechnen und die Ergebnisse im Kon- text argumentieren; den Zusammenhang der Gewinnfunktion mit der Kosten- und Erlösfunktion argumentieren Stichwörter: Break-Even-Point erst bei 96 Hüten, Kapazitäts- grenze bei 80 Hüten, Erzeugung aus wirtschaftlicher Sicht abzuraten … Stichwörter: Fixkosten: 1GE, wenn die Fixkosten gänzlich vermieden werden können, ergibt sich ein Break-Even-Point von 72 Hüten, also wird am Rand von 80 Hüten ein Gewinn erzielt … 6 Beschreibende Statistik und Regressionsrechnung 56. a. < arithmetisches Mittel und Median berechnen; Regressionsge- rade ermitteln und damit Näherungswerte berechnen arithmetisches Mittel: 6,92 ® /100km; Median: 6,8 ® /100km V mit V(x) = 0,5266x + 5,5298 ca. 9,7 ® /100km b. < verschiedene Mittelwerte kennen und Kriterien für die Wahl des Mittelwerts nennen zum Beispiel: arithmetisches Mittel =   Summe der Einzelwerte ____  Anzahl der Einzelwerte  ; Median/Zentralwert: „Element in der Mitte einer geordneten Liste“ Modus/Modalwert: Wert eines Merkmals, der am öftesten vorkommt zum Beispiel: Für quantitative Merkmale: arithmetisches Mittel gut geeignet, wenn es keine starken Ausreißer gibt. Median gut geeignet, wenn es Ausreißer gibt, die nicht ins Gewicht fallen sollen (etwa 50% der Werte des Merkmals sind kleiner und 50% sind größer als der Median). Für qualitative Daten: Nur der Modus kann ermittelt werden. Mögliche Beispiele: Beim Familienstand sollte der Modus berechnet werden, bei der Vermögensverteilung sollte der Median berechnet werden und bei arithmetischen Mitteln hängt dies von zahlreichen Aspekten ab. Im Allgemeinen kann x in ME K(x), E(x) in Euro 5 0 10 15 20 25 30 35 40 45 1200 0 2400 3600 4800 6000 K E G Break-Even-Point Anzahl der Hüte Kosten in GE Stückkosten in GE/Hüte 0 20 10 60 70 80 40 50 30 0 10 20 5 15 25 30 K K Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv