Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

81 Lösungen b. < Zusammenhang zwischen Funktion und ihrer Ableitungs funktion beschreiben und in ihrer graphischen Darstellung interpretieren p(x) =   1 _  20 x 2 –   4 _ 5 x +   16 _ 5  c. < das bestimmte Integral als orientieren Flächeninhalt interpre- tieren zum Beispiel: positive Nullstelle von f: 9 __ 24; s = 2· 9 __ 24; h = 2 Fläche:   :  0   9 __ 24   2 ‒  1 _  12 x 2 + 2  3 dx= 8·  9 _ 6 _ 3  =   1 _ 2 ·  2 _  3 ·2· 9 __ 24·2 =   4 _ 3 · 9 __ 24= 8·  9 _ 6 _ 3  44. a. < das bestimmte Integral als Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse verstehen und berechnen; Möglichkeiten zur Flä- chenberechnung kennen g(x) = 2   :  0   10     (g(x) – f(x))dx=   :  0   10     (0,0106x 3 – 0,23x 2 + 1,24x)dx Querschnittsfläche: A =   :  0   10   (0,0106x 3 – 0,23x 2 + 1,24x)dx= =   0,0106·10 4 __ 4  –   0,23·x 3 _  3  +   1,24·x 2 _ 2  – 0 = 11,8 ˙ 3m 2 Volumen: A·45 = 532,5m 3 Erde zum Beispiel: Fläche des Rechtecks bis zur Wasseroberfläche minus Fläche unter der Kurve über die Summe von Recht- ecken näherungsweise berechnen b. < Integral als Grenzwert von Ober- bzw. Untersummen beschreiben Durch Approximation mithilfe von Rechtecken: Je schmäler die Rechtecke sind, desto genauer ist der Flächeninhalt. Die Fläche ist der Grenzwert der Untersummen bzw. Ober- summen. Mithilfe der Stammfunktion einer Funktion kann ihre Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse berechnet werden: f hat in [a; b] keine Nullstelle A = |  :  a   b f(x)dx  | f hat in [a; b] eine Nullstelle n A = |  :  a   n f(x)dx  | + |  :  n   b f(x)dx  | F … Stammfunktion von f   :  a   b f(x)dx= (F(b) + C) – (F(a) + C) = F(b) – F(a) c. < Extremstellen einer Funktion berechnen Stichwörter: tiefste Stelle ist Extremstelle der Funktion f; Extremstelle ist Nullstelle der ersten Ableitung; f’(x) = 0; f’’(x) > 0 w Tiefpunkt; tiefste Stelle bei x = 3,58m vom linken Beckenrand entfernt … f’’(3,58) = 0,23 > 0 w Minimum (Stelle des Tiefpunkts) zum Beispiel: Die Fläche wird mit Integration der Funktion g – f – 0,2 berechnet. Da diese Funktion nicht nur positive, sondern auch negative Funktionswerte hat, muss stückweise werden. Alternativ könnte man die in Aufgabe a berechnete Fläche benutzen und davon die Fläche zwischen f und der Geraden mit der Gleichung y = 0,2 abziehen … 45. a. < Funktionsgraphen zeichnen und daraus Eigenschaften einer Funktion ablesen und erklären Die Funktion ist zunächst streng monoton wachsend und dann streng monoton fallend, daher hat sie ein relatives Extremum. Aus der Grafik ist ersichtlich, dass dieses auch das absolute Maximum ist, da die sich der Graph asymptotisch der t-Achse annähert. b. < die Wegfunktion als Stammfunktion der Geschwindigkeits- funktion und die Beschleunigungsfunktion als Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion interpretieren und Funktionswerte berechnen Die Wegfunktion s ist die Stammfunktion der Geschwindig- keitsfunktion: s(t) = :  0   t 700·(e ‒ τ – e ‒3 τ )d τ = 700· 2 ‒e ‒t +   1 _  3 ·e ‒3t   3 + 700·  2 _ 3 Die Beschleunigungsfunktion a ist die Ableitungsfunktion der Geschwindigkeitsfunktion: a(t) = ‒700·e ‒t + 2100·e ‒3t Momentangeschwindigkeit nach 2s: 43,67m/min mittlere Geschwindigkeit von 0s–2s: 22,32m/min Die mittlere Geschwindigkeit ist kleiner als die Momentan geschwindigkeit. s 2    5 _  60   3 – s 2    2 _  60   3 = 3,61m c. < Monotonieverhalten mithilfe der Ableitung modellieren und argumentieren Eine negative Beschleunigung bedeutet im Sachzusammen- hang eine Bremsung und ist daher möglich. Hier ist das relative Extremum der Beschleunigungsfunktion nicht gleichzeitig die größte Beschleunigung, da diese am Rand, also bei t = 0 entsteht. x y 1 0 2 3 4 5 1 0 2 3 4 x y 1 0 2 3 4 5 1 0 2 3 4 A y x b a f A 1 A 2 y x b n a f t in min v(t) in m/min 0 1 3 4 5 6 2 0 50 100 150 200 250 300 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv