Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

80 Lösungen c. < den Grenzwertbegriff intuitiv anwenden Wenn man sich von links der Stelle   1 _ 4 nähert, ist der Grenzwert der mittleren Änderungsrate   d(t) – d 2    1 _ 4   3 __ t –   1 _ 4 gleich 80, wenn sich von rechts der Stelle   1 _ 4 nähert, ist der Grenzwert 0. Wenn die Funktion d an der Stelle   1 _ 4 differenzierbar wäre, dann müssten die beiden Grenzwerte gleich sein. d ist auch an der Stelle t =   9 _ 4 nicht differenzierbar. Eine differenzierbare Funktion ist auch stetig, aber eine stetige Funktion muss nicht differenzierbar sein. Die Funk tion d hat für t º 0 keine Sprungstellen und ist daher stetig. 40. a. < Volumen mit dem bestimmten Integral modellieren und berechnen; mit Maßeinheiten rechnen 11400 ® 2850 ® b. < die Beschleunigungsfunktion als Ableitung der Geschwindig- keitsfunktion interpretieren und graphisch darstellen a(t) = ‒200t + 100 c. < die Approximation einer periodischen Funktion argumentieren Das Wasser im Zuflussrohr legt in der ersten Sekunde :  0   1 v(t)dt=   950 _ 3  ≈ 316,67cm zurück. Derselbe Weg wird in dieser Zeit zurückgelegt (und damit auch dasselbe Wasservolumen transportiert), wenn die Geschwindigkeit konstant   950 _ 3  cm/s beträgt. 41. a. < eine Kostenfunktion in einem geeigneten Bereich graphisch darstellen; mit Funktionswerten rechnen; die Unterschiede zwischen mittlerer Änderungsrate und Änderungsrate aufzeigen um 6.750GE Die mittlere Änderungsrate gibt den Kostenzuwachs pro Stück bezogen auf das betrachtete Intervall an. Die Änderungsrate berücksichtigt nicht die Größe des Intervalls. b. < die Änderungsrate graphisch veranschaulichen; die erste Ableitung der Kostenfunktion interpretieren; vom Funktions- graphen auf Eigenschaften der ersten und zweiten Ableitung schließen Stichwörter: Übergang von den degressiven Kosten zu den progressiven Kosten; Stelle des geringsten Kostenzu- wachses … zum Beispiel: Die Tangenten an die Funktion steigen sowohl vor als auch nach der Kostenkehre w die Funktion steigt w die erste Ableitung ist vor und nach der Kostenkehre positiv. Die Tangenten liegen vor der Kostenkehre oberhalb (rechts gekrümmt) des Funktionsgraphen und nach der Kostenkehre unterhalb (linksgekrümmt) des Funktionsgraphen. c. < Grenzkosten ermitteln; Wendestellen einer Kostenfunktion interpretieren 33,75GE Die erste Ableitung an einer Stelle x der Funktion beschreibt den Anstieg der Funktion an dieser Stelle x. zum Beispiel: Die erste Ableitung in einem Punkt entspricht dem Anstieg der Tangente in diesem Punkt. Der Anstieg k ist aus dem Steigungsdreieck ersichtlich. Geht man 1 Einheit nach rechts, lässt sich die Steigung k entlang der Vertikalen ablesen. 42. a. < Graphen von Polynomfunktionen zeichnen, Flächen unter Funktionsgraphen berechnen je 2m 97,59m² b. < Monotonieverhalten mithilfe der Ableitung erkennen und interpretieren Im Intervall [0; 1,33] ist f streng monoton fallend, der Innen- raum wird niedriger; im Intervall [1,33; 13,85] ist f streng monoton steigend, der Innenraum wird höher; im Intervall [13,85; 20] ist f streng monoton fallend, der Innenraum wird wieder niedriger. Ist die erste Ableitung an der Stelle x negativ, so fällt die Funktion, ist sie positiv, so steigt die Funktion. Ist die erste Ableitung an der Stelle x 0, so kann an dieser Stelle ein Extremum vorliegen. Minimale Höhe: 1,79m; maximale Höhe: 7,64m c. < das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe von Produkten interpretieren 2·2 + 2,47·2 + 3,62·2 + 5·2 + 6,32·2 + 7,29·2 + 7,64·2 + + 7,63·2 + 7,06·2 + 5,28·2 = 108,62m² Die Gesamtfläche der rechteckigen Glasscheiben ist die Ober- summe bei der Integralbestimmung und daher muss das Inte- gral eine untere Grenze der Gesamtfläche sein. 43. a. < Steigung der Tangente und Steigungswinkel mithilfe der Ableitung modellieren und berechnen ‒26,56° 2,8m t in s a in m/s² 1 0,5 3 2 2,5 1,5 -0,5 0,5 1 -1 0 x in Stück y in GE 0 2500 5000 7500 10000 12500 200 300 400 100 0 x in Stück g(x) in GE 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 400 600 200 0 g Änderungsrate der Kosten x in Meter f(x) in Meter 0 2 4 6 8 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 f verglaster Bereich der Fassade x f(x) 0,5 0 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv