Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

79 Lösungen 35. a. < aus der Berechnungsmethode für den Effektivzinssatz von Finanzgeschäften die monatliche Rate bestimmen Um die monatliche Rate zu bestimmen, muss die Gleichung 15000 – 15000·0,2 = R·  1 _  1,09 4 ·  1,09 4 – 1 __  12 9 __ 1,09– 1 gelöst werden. Die Lösung ist 296,627€. b. < mit einfachen Zinsen rechnen ‒50,89€ c. < den Kapitalwert von Investitionen berechnen, interpretieren und im Kontext argumentieren Der Kapitalwert K ist K = ‒50000 + (197000 – 158000)·  1 _  1,095 + + (200000 – 175000)·  1 _  1,095 2 + (E 3 – 185000)·  1 _  1,095 3 . Die Höhe der Einnahme im 3. Jahr E 3 muss mindestens so hoch sein, dass der Kapitalwert 0 ist und ist daher E 3 = 176.509,64€. 180.000€ reichen also aus. 4 Differentialrechnung und Integralrechnung 36. a. < das Monotonieverhalten einer Funktion erklären und interpre- tieren; den Grenzwertbegriff intuitiv anwenden zum Beispiel: Für größer werdende Argumente x wird auch der Funktionswert v(x) immer größer, da der Exponent ‒  1963 _ x  + 0,59 von e immer größer wird. Falls das Einkommen x ständig steigt, nähert sich der Verbrauch 63,41·e 0,59 = 114,4 Euro/Monat. b. < Funktionsgraphen zeichnen; Krümmungsverhalten bestimmen und interpretieren; Punktelastizität berechnen und interpretieren f(x) =   1963 _ x  w f’’(x) =   3926 _ x 3 ; Die 2. Ableitung ist im Definitions- bereich positiv und daher ist der Graph von f linksgekrümmt bzw. konvex.   Δ v _ v  ≈ ε v, x ·  Δ x _ x  =   1963 _ 4500 ·0,02 = 1,154% c. < Extremstellen berechnen; Tangenten als lineare Näherungen verstehen 981 Euro/Monat [Maximum der Ableitungsfunktion] durch die lineare Funktion, deren Graph die Tangente an den Funktionsgraphen von f an der Stelle x ist 37. a. < die Wegfunktion als Stammfunktion der Geschwindigkeits- funktion interpretieren und Funktionswerte berechnen 12,5km/h 10,43 Stunden 5,57km/h b. < Funktionsgraphen zeichnen; die Wegfunktion als Stamm funktion der Geschwindigkeitsfunktion interpretieren und Funktionswerte berechnen 11,013 Stunden c. < lokale Extrema ermitteln und argumentieren Der Radfahrer legt die Strecke von 100km mit der Geschwin- digkeit xkm/h zurück und benötigt daher die Fahrzeit von   100 _ x  h. Die Gesamtfahrzeit bei der Geschwindigkeit xkm/h ist die Summe aus der Fahrzeit und der Erholungszeit, also t(x) =   100 _ x  +   x 2 _  160 . Die Funktion t hat die Extremstelle x = 20km/h.   20 2 _ 160 = 2,5 Stunden 38. a. < Differenzen- und Differenzialquotienten als Änderungsraten interpretieren 4m/s 8m/s; Die Momentangeschwindigkeit in der vierten Sekunde ist größer als die mittlere Geschwindigkeit innerhalb der ersten 4 Fahrsekunden. b. < Zeit-Weg-Diagramm zeichnen; die Momentangeschwindigkeit mithilfe der Ableitung der Wegfunktion berechnen Die Momentangeschwindigkeit nach 2min ergibt sich durch die Ableitung der Wegfunktion s und ist in diesem Falle konstant 30m/s. c. < die Beschleunigungsfunktion als Ableitung der Geschwindig- keitsfunktion verstehen; Zuordnungsvorschriften von Funktionen interpretieren Stichwörter: Geschwindigkeit wird negativ, also bewegt sich der PKW nun in entgegengesetzte Richtung… 39. a. < die Wegfunktion als Stammfunktion der Geschwindigkeits- funktion interpretieren; Funktionsgraphen zeichnen s(t) =   g·t 2 _ 2  b. < Grenzprozesse intuitiv durchführen; die Geschwindigkeits- funktion als Stammfunktion der Beschleunigungsfunktion interpretieren; Momentanbeschleunigung und mittlere Beschleunigung aus Sachaufgaben berechnen Wenn t sehr groß wird, wird a·t = 1·t ebenfalls sehr groß und die Zahl k kann vernachlässigt werden. Daher hat die Zahl k keinen Einfluss auf die Bremswirkung, wenn die Zeit sehr groß wird. Da die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit ist und diese in den ersten 5 Sekunden konstant ist, ist die Momentanbeschleunigung gleich der mittleren Beschleuni- gung. v(10) = v 0 +   :  0   10   (g – (k + a·t)·e ‒ α ·t )·dt = 2m/s, wobei v 0 die Geschwindigkeit des Fallschirmspringers im Moment der Öffnung des Fallschirms, also v 0 = g·5m/s ist. x y 50 0 100 150 200 250 400 320 240 160 80 0 f t in h v in km/h 0 2 1 6 7 8 9 10 11 4 5 3 0 4 8 10 12 2 6 t in s s in m 1 0 2 3 5 6 7 8 9 10 4 0 40 80 120 160 t in s a in m/s 2 1 0 2 3 5 6 7 8 9 10 4 0 1 2 3 t in s Verzögerung in m/s² 0 2 1 6 7 8 9 10 4 5 3 0 10 20 25 5 15 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv