Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

77 Lösungen 27. a. < verschiedene Sparformen mathematisch modellieren, berechnen und Ergebnisse interpretieren 23.645,57€ 1,1997% p.a. nach 18 Jahren b. < den Unterschied zwischen vor- und nachschüssigen Zahlungen erklären und interpretieren; effektive Zinssätze berechnen und vergleichen Der Endwert ist kleiner, da die Zahlungen später erfolgen und damit der Zeitraum für die Verzinsung kleiner wird. 1,5% nach 5 Jahren: 9.695,556€ 1,5% und 25€ mtl. nach weiteren 5 Jahren: 12.001,15€ 1% und 50€ mtl. nach weiteren 15 Jahren: 23.635,28€ c. < Sparformen nach ihrem Kapitaleinsatz bewerten Die beiden Renten liefern nach 25 Jahren 11.509,12€. Um den Endwert von 23.645,57€ zu erhalten, muss das Ersparte 9.000€ nach 25 Jahren den Endwert 12.136,45€ erreichen. Daher kann zum Beispiel der Zinssatz in den ersten 5 Jahren in der folgenden Form angepasst werden: 9000·(1 + i) 5 ·1,015 5 ·1,01 15 = 12.136,45. Daher ergibt sich der Zinssatz zu 1,517%. Mehr Startkapital wirkt sich jedenfalls besser auf den End- wert aus, genauso wie höhere Zahlungen am Anfang. 28. a. < mit Zinseszinsen und einfachen Zinsen Finanzierungsfragen lösen 6,45·10 14 € 26,64€ Einfache Zinsen und Zinseszinsen unterscheiden sich nach genau einem Jahr nicht. (Unter einem Jahr sind einfache Zin- sen vorteilhaft, bei mehr als einem Jahr die Zinseszinsen.) b. < mit Zinseszinsrechnung Finanzierungsfragen lösen und beurteilen Löse die Gleichung 0,74·1,035 t + 1 – 0,74·1,035 t = 500000. Das Kapital unter Berücksichtigung der KEST beträgt 332,84€, ist also deutlich geringer. c. < mit Effektivzinssätzen im Kontext argumentieren Stichwörter: Effektivzinssatz ermitteln; Löse die Gleichung 250000 = 673,35·  q 50 – 1 _ q – 1  w q = 1,06733; Effektivzins- satz: 6,733%; falls angenommen werden kann, dass der Finanzmathematiker die letzten 50 Jahre überlebt, sollte er unbedingt diese Erlebensversicherung abschließen … 29. a. < verschiedene Zahlungsvarianten vergleichen und äquivalente Zinssätze berechnen 12 9 ___ 1,02– 1 w 0,165% p.m. Der Aufzinsungsfaktor p.a. (1,02) muss auf einen äquivalenten Faktor p.m. umgerechnet werden ( 12 9 ___ 1,02). Von diesem Aufzin- sungsfaktor muss dann noch 1 abgezogen werden, um den Zinssatz pro Monat zu erhalten (0,165%). nach 61 Monaten b. < den Zusammenhang zwischen der Rentenrechnung und der geometrischen Reihe aufzeigen und graphisch darstellen s n = a 1 ·  q n – 1 _ q – 1  Es gibt einen Zeitpunkt auf den gerechnet wird – das ent- spricht der Summe s n . Die erste Zahlung, die auf diesen Zeit- punkt gerechnet wird, entspricht a 1 . Der Quotient entspricht q. Die Anzahl der Zahlungen ist n. q … Aufzinsungsfaktor Summe einer geometrischen Reihe: s n = a 1 ·  q n – 1 _ q – 1  s n = Barwert, a 1 =   R _ q , n = 4 B =   R _  q ·  2    1 _  q   3 4 – 1 _    1 _ q – 1 oder B = R·q ‒1 ·  2 q ‒1   3 4 – 1 __  q ‒1 – 1 c. < eine Zahlungsvariante mit Renten graphisch darstellen, Berechnungen durchführen und interpretieren (800· 12 9 ___ 1,02 2 + R· 12 9 ___ 1,02+ R)· 12 9 ___ 1,015 10 + R·  12 9 ___ 1,015 10 – 1 __ 12 9 __ 1,015– 1 = 2300 Ja, die Rate geht sich aus (Rate 123,10€). 30. a. < mit Zahlenangaben in Prozent rechnen; einen Tilgungsplan erstellen; äquivalente Zinssätze berechnen 1.000€ Monat Zinsen Tilgung Annuität Restschuld 0 900,00€ 1 21,62€ 103,38€ 125,00€ 796,62€ 2 19,14€ 105,86€ 125,00€ 690,76€ 3 16,60€ 108,40€ 125,00€ 582,36€ 4 13,99€ 111,01€ 125,00€ 471,35€ 5 11,32€ 113,68€ 125,00€ 357,68€ 6 8,59€ 116,41€ 125,00€ 241,27€ 7 5,80€ 119,20€ 125,00€ 122,07€ 8 2,93€ 122,07€ 125,00€ 0,00€ 32,96% p.a. b. < geometrisches Mittel als Mittelwert erkennen und argumentieren Zur Berechnung des durchschnittlichen Zinssatzes muss das geometrische Mittel der Aufzinsungsfaktoren berechnet wer- den, da der Grundwert jedes Jahr ein anderer ist und die Pro- zentsätze aufeinander basieren. Basis ist die Formel für die Zinseszinsen: K n = K 0 · 2  1 +   p _  100   3 n Da p den Jahreszinssatz darstellt und n die Dauer der Verzinsung, ist der durchschnittliche Aufzinsungsfaktor die n-te Wurzel aus den Aufzinsungsfaktoren. Von diesem zieht man 1 ab und multipliziert mit 100, um den Prozentwert zu erhalten. 5 9 ______________ 1,03·1,032·1,035·1,04·1,06= 1,03934 w durchschnittlicher Zinssatz: 3,934% p.a. c. < Kriterien für Kredite und Sparbücher kennen; Aussagen kritisch beurteilen Ein Kredit kostet nicht nur Zinsen, es ist auch eine Bereitstel- lungsgebühr zu zahlen, es muss ein Konto für die Abwicklung vorhanden sein. Dies verursacht zusätzliche Kosten. Beim Sparbuch ist zu berücksichtigen, dass jährlich 25% KEST abzu- führen sind. Der tatsächliche Zinssatz entspricht nur   3 _ 4 des ver- einbarten Zinssatzes. Zahlenmäßig sind 6% das Doppelte von 3%. In dem Zeitraum erfolgt die Zinssatzentwicklung jedoch langsamer. Die Zinsen wachsen nicht nur wegen des höheren Zinssatzes, sondern auch durch die Veränderung des Grundwertes (Zinseszinsen). Zeit in Monaten 4 5 3 2 1 0 R R R R 1 q ∙ ∙ ∙ 1 q 1 q R q R q 2 R q 3 R q 4 Zeit in Monaten 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 2 1 0 R €800 Endwert = €2.300 R R R R R R R R R R R 2% p.a. 1,5% p.a.  Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv