Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

76 Lösungen b. < Funktionsgraphen zeichnen und Werte in der Entwicklung ermitteln ƒƒ ƒƒ 16,6516Gy ƒƒ Zerfall von 5,61% c. < den Graphen eines Zerfalls interpretieren; verschiedene Wachstumsmodelle vergleichen ƒƒ ​N​ 0 ​= 100Gy … Anfangswert a … Stärke der Abnahme: pro Sekunde zerfallen 2,52% der Substanz Halbwertszeit: ca. 28s ƒƒ Stichwörter: prozentuelle Abnahme; absolute Abnahme wird immer kleiner; Funktionswerte von N nähern sich 0, werden aber nie 0; die x-Achse ist eine Asymptote für den Graphen von N … ƒƒ Stichwörter: bei einem linearen Abbau wird in jedem Zeit­ intervall der gleiche Menge der Substanz abgebaut; nach einer bestimmten Zeit ist die gesamte Substanz abgebaut … 24. a. < mit Exponentialfunktionen rechnen, Funktionswerte interpretieren und ihren Graphen zeichnen ƒƒ ƒƒ 30 Stück ƒƒ Nein, N(x) kann aus sachlogischen Gründen nie 50 Stück sein. b. < Eigenschaften von Parameter einer Exponentialfunktion erkennen ƒƒ Falls b negativ ist, dann würde die Nachfrage gemessen als Stück auch negativ werden, was nicht möglich ist. ƒƒ R + c. < das exponentielle Wachstumsmodell interpretieren ƒƒ Da es eine Kapazitätsgrenze gibt, handelt es sich um ein beschränktes Wachstum. ƒƒ zum Beispiel: exponentielle Abnahme, lineare Abnahme … 3 Finanzmathematik 25. a. < mit Zinseszins rechnen; Kapitalentwicklung auf einer Zeit­ achse darstellen ƒƒ 36.457€ ƒƒ ƒƒ Stichwörter: Endwert über die 10 Jahre abzinsen; Barwert mit der Formel für die geometrische Reihe berechnen: B = 300·​  ​ 2  ​  1 __  ​ 12 9 ____ 1,0025​ ​  3 ​​ 120 ​– 1 __ ​  1 __  ​ 12 9 ____ 1,0025​ ​– 1 ​… b. < den variablen Zinssatz in einer Rentenkonvertierung beschreiben, die Auswirkungen interpretieren; den Wert einer Rente vergleichen und im Kontext beurteilen ƒƒ Der Umstieg hat kaum Auswirkungen. Nach der halben Lauf- zeit wächst das Kapital zwar schneller, allerdings sinken die Zinsen jährlich, wodurch sich dieser Effekt verflüchtigt. ƒƒ Am Ende steht ein Kapital von 36.489,67€ zur Verfügung. Der Barwert entspricht dann 35.589,85€ und ist geringfügig höher als bei der gleichbleibenden Verzinsung. Da der Barwert beim 2. Angebot höher ist, sollte Frau Maier dieses wählen. c. < die Kapitalentwicklung unter verschiedenen Voraussetzungen darstellen, bewerten und interpretieren ƒƒ zum Beispiel: Szenario 1: Der Zinssatz ist im ersten Jahr 0,1% und erhöht sich pro Jahr um 5%. Szenario 2: Der Zinssatz ist im ersten Jahr 0,1% und erhöht sich pro Jahr um 0,02 Prozentpunkte. 26. a. < Kapitalwert von Investitionen berechnen und im Kontext interpretieren; Effektivzinssätze berechnen ƒƒ K mit K(i) = ‒250000 + 1200·​  1 _  ​(1 + i)​ 10 ​ ​·​  ​(1 + i)​ 10 ​– 1 __  ​ 12 9 __ 1 + i​– 1 ​– – 5000·​  1 _  ​(1 + i)​ 10 ​ ​·​  ​(1 + i)​ 10 ​– 1 __  i  ​+ 350000·​  1 _  ​(1 + i)​ 10 ​ ​ ƒƒ ƒƒ 7% b. < mit der Zinseszinsrechnung Finanzierungsfragen lösen und beurteilen ƒƒ Stichwörter: Preisreduktion ist gerechtfertigt; Preisreduktion von 30.000€ mit den erwarteten Reparaturkosten verglei- chen; Barwert der Reparaturkosten beim Zinssatz i: B(i) = 9000·​  1 _  1 + i ​+ 8000·​  1 _  ​(1 + i)​ 2 ​ ​+ 7000·​  1 _  ​(1 + i)​ 3 ​ ​+ 6000·​  1 _  ​(1 + i)​ 4 ​ ​+ + 5000·​  1 _  ​(1 + i)​ 5 ​ ​+ 4000·​  1 _  ​(1 + i)​ 6 ​ ​+ 3000·​  1 _  ​(1 + i)​ 7 ​ ​+ 2000·​  1 _  ​(1 + i)​ 8 ​ ​+ + 1000·​  1 _  ​(1 + i)​ 9 ​ ​ w  für i = 10% p.a.; B(0,1) = 32.409,76€; erwar­ tete Reparaturkosten deutlich höher als Preisreduktion … ƒƒ Stichwörter: Barwert bei Zinssatz 3% p.a.: B(0,03) = 40.463,04€, daher wäre eine Preisreduktion von 40.500€ als gerechtfertigt anzusehen … c. < Kapitalwert von Investitionen berechnen, interpretieren und im Kontext argumentieren ƒƒ Der Kapitelwert K in Abhängigkeit vom Zinssatz i ist K(i) = ‒200000 – 50000·​  1 _  ​ 9 ___ 1 + i​ ​– 50000·​  1 _  1 + i ​+ 1200·​  1 _  ​(1 + i)​ 10 ​ ​· ·​  ​(1 + i)​ 9 ​– 1 __  ​ 12 9 __ 1 + i​– 1 ​– 5000·​  1 _  ​(1 + i)​ 10 ​ ​·​  ​(1 + i)​ 9 ​– 1 __ i  ​+ 350000·​  1 _  ​(1 + i)​ 10 ​ ​ . Der Effektivzinssatz dieser Veranlagung ist die Lösung der Gleichung K(i) = 0; also i = 0,02 und für Zinssätze größer als 0,02 ist der Kapitalwert kleiner als 0. Der Effektivzinssatz ist 2%. Falls der Kalkulationszinssatz unter 2% ist dies vorteilhaft; bei über 2% unvorteilhaft und bei genau 2% ist es indifferent. Zeit in Tagen Dosis in Gy 0 2 4 6 8 10 15 12 18 21 9 6 3 0 Einkommen in 1000€ Anz. der gekauften Artikel/Jahr 0,5 0 1 1,5 2,5 3 2 0 5 10 15 20 25 30 1. Jahr 2. Jahr 10. Jahr 3. Jahr... (0,25% p.a.) €300 mtl. €300 mtl. €300 mtl.... €300 mtl. Zinssatz in % Kapitalwert in € 0 2 1 6 7 8 4 5 3 0 100000 200000 50000 150000 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv