Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

75 Lösungen Nach 40 Tagen, also nach 960 Stunden ergibt sich mit dem exponentiellen Wachstum 1,13111kg, also ist das exponentiel- les Wachstum hier nicht geeignet, sondern es soll eine Model- lierung als logistisches Wachstum erfolgen. 19. a. < Wachstum durch Exponentialfunktionen modellieren und Funktionswerte berechnen 20149,6m 2 vor 27,6 Jahren b. < mit Exponentialfunktionen rechnen und die Angemessenheit des Modells beurteilen nach 7 Jahren Da die Waldfläche begrenzt ist, kann das Wachstum nicht unbeschränkt erfolgen. c. < mit Wachstumsmodellen rechnen; ein exponentielles Modell durch ein lineares annähern W(t) … Holzbestand im Jahr t in m 2 W(5) = 45000·0,91·0,955·0,9775·0,98875·0,994375 = = 37584,67m 2 Wenn es eine konstante jährliche Veränderung gibt, dann gilt: 45000·0,91·0,955·0,9775·0,98875·0,994375 = 45000·a 5 , wobei a der konstante Wachstumsfaktor ist. Dann ist a = 0,9646 und die konstante jährliche Veränderung pro Jahr ist ‒3,54%. 20. a. < Wachstum durch Exponentialfunktionen modellieren, berechnen und graphisch darstellen explizit: N(t) = 100·2   t _ 5 rekursiv: N(0) = 100; N(t) = 5 9 _ 2·N(t – 1) 1,302·10 12 Bakterien b. < unterschiedliche Wachstumsmodelle vergleichen, Eigen schaften benennen und im Sachkontext interpretieren Nach ca. einer halben Woche wird sich der laufende Zuwachs reduzieren und damit das Wachstum „entschleunigt“. Stichwörter: Obergrenze/Kapazitätsgrenze, kein unbegrenztes Wachstum möglich … c. < die Angemessenheit einer Beschreibung mittels Exponential- funktionen argumentieren Stichwörter: beschränkte Ressourcen, beschränktes Wachs- tum, logistisches Wachstum … Bei Bakterien bewirkt eine höhere Temperatur ein verstärktes Wachstum. Ressourcen verlangsamen/beschleunigen das Wachstum. 21. a. < Wachstum durch Exponentialfunktionen modellieren und damit rechnen N 0 = 356; a = 1,13315; N(t) = 356·1,13315 t 100,365 Tage = 14 Wochen 2,365 Tage b. < Parameter von Exponentialfunktionen in Bezug auf den Verlauf des Funktionsgraphen interpretieren Stichwörter: Graph enthält immer den Punkt (0 1 1), x-Achse ist Asymptote, Definitionsbereich: ℝ , Wertebereich: ℝ + … I. a = 1 linear; c = 1 II. zum Beispiel: a = 2 (a > 1 w wachsend); c = 0,2 (0 ª c ª 1) III. zum Beispiel: a = 0,5 (0 < a < 1 w fallend); c = 1 c. < den Verlauf einer Exponentialfunktion kritisch betrachten; ihren Graphen zeichnen und Eigenschaften beschreiben zum Beispiel: Pilze vermehren sich anfangs exponentiell. Nach einer gewissen Zeit ist allerdings so viel Blattmasse befallen, dass für den Pilz „kein Platz“ mehr ist. Die „Nahrungsquelle“ geht verloren, er kann sich nicht mehr so rasch ausbreiten, das Wachstum wird begrenzt. zum Beispiel: Zu Beginn ist der Befall gering; durch die pro- zentuelle Zunahme steigt die Kurve zunächst langsam. Wenn mehr Blattfläche befallen ist, wird die Kurve durch die prozen- tuelle Zunahme immer steiler. Zwischen 80 und 120 Tagen erfolgt eine sehr rasche Zunahme. Nach ca. 120 Tagen sind fast alle Blätter befallen und die Kurve wird flacher. Es sind kaum noch Blätter da, auf denen sich der Pilz ausbreiten kann. 22. a. < Wachstum durch Exponentialfunktionen modellieren; Halbwertszeit erklären und berechnen Stichwörter: Radioaktive Isotope zerfallen exponentiell; nach der Halbwertszeit ist die Hälfte der radioaktiven Isotope zer- fallen; nach der doppelten Halbwertszeit ist noch ein Viertel der radioaktiven Isotope vorhanden; die Halbwertszeit bei exponentiellem Zerfall ist konstant … ca. 1698 Jahre N(t)… Anzahl der Radium-Isotope zur Zeit t N(t) = N 0 ·e ‒ λ t ; λ = 4,0822·10 ‒4 b. < unterschiedliche Darstellungen von Zerfallsmodellen anwenden und interpretieren; den Verlauf eines Zerfalls graphisch darstellen Die Halbwertszeit ist τ = ‒  ln(0,5) _  λ  ≈ 1698 Jahre. Aus dem Steigungsdreieck ermittelt man den Differenzenquotienten   y τ – y 0 _ τ  = ‒  1 _  2 τ =   λ __  ln(0,25) . c. < Wachstum durch Exponentialfunktion modellieren und damit rechnen; mit der Halbwertszeit argumentieren Ja, da nach 11281,1 Jahren noch 1% nachweisbar ist. Hier wurde ein linearer Abbau beschrieben. Der Abbau erfolgt aber prozentuell und damit langsamer. 23. a. < Wachstum durch Exponentialfunktionen modellieren und damit rechnen N(t)… Radium 221 nach t Sekunden N(t) = N 0 ·0,9755 t nach 4min 39s t in Stunden Anzahl der Bakterien 0 1000 2000 3000 4000 25 20 30 15 10 5 0 t in Tagen N(t) in m² 0 80 40 160 N 200 120 0 10000 5000 15000 25000 20000 t in Jahre Anz. der Radium-Isot. in % 0 2000 6000 8000 10000 12000 4000 0 40 20 60 80 100 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv