Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

74 Lösungen b. < Exponentialfunktionen und ihre Funktionswerte miteinander vergleichen Milchzugabe sofort: nach 5,59min Milchzugabe nach 3min: nach 4,42min c. < Abnahme durch eine Exponentialfunktion modellieren, Funktionswerte berechnen und im Kontext deuten Ja, durch Hinzugeben von heißem Kaffee und gekühlter Milch zu je einer Viertel Tasse erhält man Milchkaffee von ca. 32,25°C, der nach kurzer Zeit die bevorzugte Trinktemperatur erreicht und nach 4,3min wieder erwärmt werden muss. 15. a. < Exponentialfunktion als Abnahmemodell interpretieren; die Halbwertszeit berechnen und im Kontext deuten h(p) = ‒7991·ln 2    p _  p 0   3 h(0,65) = ‒7991·ln 2    0,65 _ 1,013   3 = 3546m h 1 = ‒7991·ln 2    1 _ 2   3 = 5539m b. < Eigenschaften der Potenzfunktion interpretieren; in anwendungsbezogenen Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen modellieren Eine Abnahme in Abhängigkeit von der Höhe ist aus der Grafik ersichtlich. Stichwörter: bei einer Exponentialfunktion sind bei gleichen Schrittweiten die Abnahmen relativ immer gleich,   p(2) – p(1) __ 1  = ‒0,0001202455 ≠   p(3) – p(2) __ 2  = ‒0,000060117, also keine exponentielle Abnahme oder: die relative Abnahme ist nicht an allen Stellen gleich, zum Beispiel:   p(5000) __ p(4000) = 0,88 ≠   p(22000) __ p(21000) = 0,79 c. < Eigenschaften von Potenzfunktionen anhand ihres Graphen interpretieren und damit argumentieren 16. a. < Wachstum durch Exponentialfunktionen modellieren und die Verdoppelungszeit berechnen A(t) … Anzahl der Individuen in der Algenpopulation nach t Jahren; t ª 50 A(t) = 55000·1,015 t 46,56 Jahre Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der die Hälfte der ursprünglichen Population gestorben ist. In den ersten 50 Jah- ren liegt Wachstum vor (Wachstumsfaktor 1,015 > 1) und keine Abnahme. b. < Abnahme durch Exponentialfunktionen modellieren und die Halbwertszeit berechnen A(t) … Anzahl der Individuen in der Algenpopulation nach t Jahren; t > 50 A(t) = 55000·1,01 50 ·0,975 t Es liegt eine exponentielle Abnahme vor (Wachstumsfaktor 0,975 < 1). 56,78 Jahre c. < die Exponentialfunktion als Wachstumsmodell interpretieren Stichwörter: Funktionswerte von Exponentialfunktionen sind immer positiv, insbesondere nie 0; x-Achse ist eine Asymptote des Graphen der Exponentialfunktion… Stichwörter: x-Achse ist eine Asymptote des Graphen der Exponentialfunktion; die Exponentialfunktion ist (für t > 50) streng monoton fallend; die Funktionswerte einer Exponen tialfunktion nähern sich mit wachsenden Argumenten 0, es gibt eine Zeit, für die der Funktionswert kleiner 0,5 ist… 17. a. < Abnahme durch Exponentialfunktionen modellieren; die Halbwertszeit bestimmen; Funktionswerte berechnen und im Kontext deuten N(t) … Karpfenbestand im Teich nach t Jahren in kg N(t) = N(t – 1)·0,95 – 1500; N(0) = 30000kg N(6) = 14105,5 und damit zum ersten Mal unter 15000, daher wird die Halbwertszeit im 6. Jahr erreicht. 760kg Karpfen (beim Abfischen Ende Dezember) b. < Abnahme durch Exponentialfunktionen modellieren; Funktionswerte berechnen und im Kontext deuten N(t) … Karpfenbestand im Teich nach t Jahren in kg N(t) = N(t – 1)·0,96 – 1500; N(0) = 30000kg N(14) = 615,5, also ist die Maßnahme nicht ausreichend. Der Karpfenbestand ist nur bis zum 22. Jahr vorhanden. c. < die Angemessenheit einer Modellierung mittels Exponential- funktion argumentieren Die Modellierung beschreibt den Sachverhalt nicht korrekt, da sich die Bezugsgröße bei den Prozenten ändert. N(t) … Karpfenbestand im Teich nach t Jahren in kg N(t) = N(t – 1)·1,10·0,96 – 1500; N(0) = 30000kg 18. a. < Wachstum durch Exponentialfunktionen modellieren; Funktionswerte berechnen und im Kontext deuten m(t) … Masse an Bakterien im Bioreaktor nach t Stunden in mg m(t) = 1·1,10 t innerhalb von 24,16 Stunden k = ln(1,10) = 0,09531 b. < logistisches Wachstum modellieren und Funktionswerte berechnen m(t) … Masse an Bakterien im Bioreaktor nach t Stunden in mg m(t) =   1000000 ___   1 + 999999·0,909091 t 899945mg c. < die Angemessenheit einer Modellierung mittels Exponential- funktion argumentieren m(t) … Masse an Bakterien im Bioreaktor nach t Stunden in kg m(t) = 0,7·1,0005 t Nach 10 Tagen, also nach 240 Stunden gibt es m(240) = 0,79kg Bakterien. Also ist das exponentielle Wachstum angebracht, da das logistische Wachstum im ersten Abschnitt ein expo- nentielles Wachstum ist. t 3 t S t in min Temp in °C 2 0 10 8 0 40 20 30 60 100 80 Milch sofort Milch nach 3 min h in m p(h) in bar 0,2 0 0,4 0,6 0,8 1 10000 8000 6000 4000 2000 h in m p(h) in bar 0,2 0 0,4 0,6 0,8 1 36000 28000 20000 12000 4000 κ = 1,01 κ = 1,05 κ = 1,1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv