Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

72 Lösungen nach genau 3,5 Stunden A , B und F . Begründung: Wählt man t = 0, dann muss y die Höhe der Kerze am Anfang des Abbrennvorgangs sein, daher muss y positiv sein. Der Faktor bei t muss eine negative Zahl sein, weil damit die Verringerung der Kerzenhöhe in einer Stunde beschrieben wird. c. < ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten anwen- dungsbezogen aufstellen, graphisch veranschaulichen und die Lösung interpretieren und damit argumentieren Aus der graphischen Darstellung ist ersichtlich, dass die bei- den Kerzen erst nach 16 Stunden gleich lang wären, jedoch sind zu diesem Zeitpunkt die Kerze A und die Kerze B bereits abgebrannt. 8. a. < Funktionswerte berechnen; ein quadratische Gleichungen lösen und die Lösungen interpretieren 11,94 Leistungseinheiten 1993 und 2003 b. < mit Termen rechnen in der Mitte des Jahres 1997 [P(t) ist möglichst groß, wenn 1000 + 3(2t – 15) 2 möglichst klein ist, das ist für 2t – 15 = 0, also t = 7,5 der Fall.] Die Produktivität nähert sich 0 Leistungseinheiten, weil der Zähler konstant bleibt und der Nenner immer größer wird. c. < die Veränderung von Funktionswerten interpretieren Bei der Erhöhung der Arbeitszeit von 8 auf 9 Stunden pro Tag erhöht sich bei 10 Arbeitskräften die Anzahl der positiv bear- beiteten Anfragen um durchschnittlich 8,6, bei einer Neuan- stellung jedoch um durchschnittlich 46,2. Da sich die Zeit nur im zweiten Term im Nenner befindet, nähert sich dieser mit wachsender Zeit gegen 0. Daher können höchstens im Durchschnitt 49 Anfragen positiv beantwortet werden. 9. a. < eine Kostenfunktion durch Lösen eines Gleichungssystems aufstellen I) 14400 = 45k + d II) 12250 = 35k + d k = 215, d = 4725; K mit K(x) = 215x + 4725 b. < die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems graphisch erklären und Gleichungssysteme angeben, die keine, eine bzw. beliebig viele Lösungen haben Stichwörter: die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen als Geraden interpretieren; die Anzahl der Schnittpunkte der Geraden mit der Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems in Zusammenhang bringen; Geraden schneiden sich in einem Punkt: eine Lösung; Geraden sind parallel: keine Lösung; Geraden sind ident: beliebig viele Lösungen … I. a = 20, b ≠ 4 II. a ≠ 20, z.B. b = ‒2 III. a = 20, b = 4 c. < Nullstellen und Schnittpunkte von Geraden im Sachzusammenhang interpretieren Bus 1 und Bus 2 fahren vom selben Ort ab. Bus 2 fährt 15 Minuten später ab als Bus 1. Beide Busse sind gleichauf. (Sie sind gleich weit vom Abfahrtsort entfernt.) zum Beispiel: Bus 2 ist 90min nach Abfahrt von Bus 1 am Ziel. Damit Bus 1 zur gleichen Zeit ankommt, muss seine Geschwin- digkeit   80 _ 1,5 = 53,3km/h sein. Oder: Bus 2 könnte, wenn er mit der geplanten Geschwindig- keit fährt, eine Rast von ca. 7 Minuten einplanen. Dann kommt er gleichzeitig mit Bus 1 an. 10 a. < aus einem Sachkontext eine lineare Gleichung aufstellen und lösen x… Prozentsatz an Gefrierschutz der 3 Liter-Flasche 0,15·2 + x·3 = 0,12·5 10% 0,5 Liter Wasser b. < ein lineares Gleichungssystem aus einem Sachkontext aufstellen und die Lösungsmenge ermitteln und interpretieren 3,11 ® Gefrierschutzmittel; 3,89 ® Wasser genau eine Lösung, wenn sich die beiden Geraden genau in einem Punkt schneiden; keine Lösung, wenn die beiden Gera- den parallel sind (und nicht deckungsgleich); beliebig viele Lösungen, wenn die beiden Geraden deckungsgleich sind (gleiche Steigung und gleicher Ordinantenabschnitt) c. < Bestimmungselemente einer linearen Gleichung im Sachzusam- menhang interpretieren Um den gewünschten Gefrierschutz von ρ = 1,06kg/dm³ zu erreichen, muss das Gefrierschutzmittel mindestens diese Dichte aufweisen, da Wasser eine Dichte von 1kg/dm³ hat und jede niedrigere Dichte durch Mischung erreicht werden kann. 11. a. < ein lineares Gleichungssystem aus dem Text ermitteln und lösen 86,4s Greifer G 1 : 34,8m; Greifer G 2 : 43,2m b. < lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise darstel- len; die Inverse einer Matrix erklären und berechnen 2  2   1 3   1 3 2  x    y 3 = 2  11   6   3 Die zu A inverse Matrix A ‒1 hat die Eigenschaft A·A ‒1 = A ‒1 ·A = E, wobei E die Einheitsmatrix ist. Die Inverse der Matrix 2    a    b   c    d 3 ist   1 _  ad – bc 2    d ‒b ‒c    a 3 . zum Beispiel: Wenn A·x = b ist, dann muss A ‒1 ·A·x = A ‒1 ·b sein, also x = A ‒1 ·b. Wenn es also eine Lösung x gibt, dann muss sie gleich A ‒1 ·b sein (damit ist gezeigt, dass es nur eine Lösung, nämlich A ‒1 ·b, geben kann). Andererseits ist A·(A ‒1 ·b) = b, also ist A ‒1 ·b eine Lösung (damit ist gezeigt, dass eine Lösung existiert). x = A ‒1 ·b Brenndauer in h Höhe in cm 0 8 16 24 32 40 10 8 12 14 16 6 4 2 0 Kerze A Kerze B x y 0 2 1 -1 1 2 g f x y 0 2 1 -1 1 2 g f x y 0 2 1 -1 1 2 g f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv