Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

67 Stochastik 92 Gewichtsklassen von Eiern Auf einem Serviceblatt des AMA-Marketings sind die Gewichtsklassen für Eier angeführt. Gewichtsklasse Beschreibung Masse XL Sehr groß mindestens 73g L Groß 63g bis unter 73g M Mittel 53g bis unter 63g S Klein unter 53g a. Ein Hotelbetrieb kauft 20 Packungen Eier à 10 Stück der Gewichtsklasse XL und 10 Packungen à 10 Stück der Gewichtsklasse M. Aus der Erfahrung weiß man, dass unter 50 Eiern ein Ei „kaputt“ ist. ƒƒ Berechnen Sie die Durchschnittsmasse der erworbenen Eier. ƒƒ Beschreiben Sie, wie der Hotelbetrieb die Anzahl der zu erwartenden „kaputten“ Eier ermitteln kann. ƒƒ Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 Eiern mindestens 2 „kaputt“ sind. ƒƒ Beschreiben Sie die verwendete Wahrscheinlichkeitsverteilung. b. Im symmetrischen Intervall zwischen 45g und 75g um den Erwartungswert liegen 99,7% der Massen der Eier. Bei Kochrezepten geht man üblicherweise von 50g pro Ei aus. ƒƒ Bestimmen Sie die Standardabweichung. ƒƒ Erstellen Sie unter Annahme einer Normalverteilung auf Basis der gegebenen Informa­ tionen die Dichtefunktion der Normalverteilung. ƒƒ Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ei mehr als 50g wiegt. Dokumentieren Sie die Vorgangsweise bei der Berechnung. c. Es soll ein Histogramm der vier Gewichtsklassen eines Biobetriebs erstellt werden. ƒƒ Argumentieren Sie, dass die Erstellung eines Histogramms nicht im Allgemeinen möglich ist. Das Boxplot-Diagramm stellt nun die Gewichte der Eier eines Biobetriebs dar. ƒƒ Interpretieren Sie das Boxplot-Diagramm hinsichtlich der fünf Kenngrößen. ƒƒ Argumentieren Sie, warum aufgrund der Darstellung der Gewichte im Boxplot-Diagramm eine Approximation der Gewichte durch die Normalverteilung abzulehnen ist. 93 Tombola Bei einer Veranstaltung für 1 000 Personen ist mit einem freien Eintritt gleichzeitig die Möglich- keit verknüpft, an einer Tombola teilzunehmen. Die Zufallsvariable X gibt die Höhe des Gewinns an. Die 1 000 Lose tragen Gewinne in der folgenden Höhe: 1 Gewinn zu 400€ 10 Gewinne zu 100€ 15 Gewinne zu 10€ a.  Berechnen Sie den Erwartungswert der Höhe eines Gewinns. ƒƒ Berechnen Sie die Standardabweichung der Höhe eines Gewinns. ƒƒ Ermitteln Sie, in welcher Höhe die Eintrittspreise festgelegt werden müssen, damit diese genau 50% der zu verlosenden Gewinne tragen. b.  Stellen Sie eine vollständige Wertetabelle der Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X auf. ƒƒ Erklären Sie, wie hoch ein Eintrittspreis sein müsste, damit die Tombola noch fair bleibt. ƒƒ Erläutern Sie, wie die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann, dass eine Gruppe von 7 Personen einen Gesamtgewinn von 130€ erlangt. c.  Argumentieren Sie, ob die Zufallsvariable X binomial- oder normalverteilt ist. Eine Gruppe von 9 Personen möchte ermitteln, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass mehr als 5 Personen einen Gewinn (unabhängig von der Höhe) erlangen. ƒƒ Argumentieren Sie, ob unter diesen Voraussetzungen die Modellierung mit einer Binomi- alverteilung als geeignet angesehen werden kann. 45 50 60 65 70 75 80 55 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv