Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

66 10 Stochastik 90 Rosinen im Kuchen Frau Klein hat zwar wenig Zeit zur Verfügung, trotzdem bäckt sie für die Lehrkräfte in ihrer Schule eine größere Anzahl Kuchen, in die sie immer 75 Rosinen (die sich gleichmäßig verteilen) gibt, damit auch jede Kollegin und jeder Kollege zumindest eine davon abbekommt. a. Frau Klein teilt einen fertigen Kuchen in 15 Stücke. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, in jedem Stück genau 5 Rosinen zu finden. Ermitteln Sie, in wie viele Stücke Frau Klein den Kuchen schneiden darf, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% zumindest eine Rosine in einem Stück zu finden ist. b. Die Biologielehrerin ist experimentierfreudig und zerbröselt ein Drittel eines Kuchens, um die Anzahl der Rosinen feststellen zu können. Sie findet insgesamt 19 Stück, also wesentlich weniger als die erwarteten 25 Stück. Sie fragt sich, wie groß die Chance tatsächlich ist, in einem Drittel eines Kuchens weniger als 20 Rosinen zu finden. Daher untersucht sie auch noch alle weiteren Kuchen. In einem Histogramm notiert sich die Biologin die Anzahl der gefundenen Rosinen. Dabei stellt sie fest, dass die eigentliche Anzahl an Rosinen in einem Drittel des Kuchens um 25 schwankt. Erklären Sie, wie die Biologin weiter vorgehen müsste, um die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 30 Rosinen in einem Drittel eines Kuchens enthalten sind, mithilfe einer Wahr- scheinlichkeitsdichtefunktion bestimmen zu können. c.  Argumentieren Sie, warum der Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariable nicht immer mit dem Mittelwert übereinstimmen muss. Beurteilen Sie, ob der Erwartungswert für die Anzahl der Rosinen in einem von 15 Stück Kuchen bei ursprünglich 75 Rosinen im Kuchen mit dem Mittelwert identisch ist. 91 Körpermaße Bei einem Verein werden die Körpergröße und das Gewicht der Mitglieder erfasst. Größe in cm 160 164 180 165 161 164 170 110 124 134 135 142 151 159 Gewicht in kg 45 53 70 54 40 62 60 23 32 40 40 50 49 55 a. Der Zusammenhang zwischen Körpergröße und Gewicht soll durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Stellen Sie die Daten in Form einer Punktwolke dar. Bestimmen Sie die Gleichung der linearen Regressionsgeraden. Berechnen Sie, welches Gewicht bei einer Körpergröße von 1,79m zu erwarten ist. Ermitteln Sie, welche Gewichtszunahme bei Änderung der Körpergröße um 5cm nach diesem Modell zu erwarten ist. b. Der Verein unternimmt einen Ausflug in den Klettergarten. Dort werden die Besucherinnen und Besucher abhängig von ihrer Körpergröße in drei verschiedene Gruppen eingeteilt: Gruppe 1 ab 110 cm, Gruppe 2 ab 130 cm und Gruppe 3 ab 160 cm Erstellen Sie nach diesen Vorgaben eine Klasseneinteilung für die Vereinsmitglieder. Ermitteln Sie die relativen und absoluten Häufigkeiten der einzelnen Gruppen. Vergleichen Sie den Mittelwert, der sich durch die Klasseneinteilung ergibt, mit dem Mittelwert der Vereinsmitglieder. Interpretieren Sie den Unterschied. c. Hubert meint, als er die Tabelle mit den Körpermaßen sieht: „Eine lineare Darstellung ist nur in einem bestimmten Intervall sinnvoll.“ Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung. Überprüfen Sie weitere Möglichkeiten einer Modellierung des Zusammenhangs. Erläutern Sie, woran man in der Grafik erkennen kann, ob eine Funktion den Zusammen- hang zwischen zwei Merkmalen gut beschreibt oder nicht. Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv