Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

65 Funktionale Zusammenhänge 88 Torbogen Ein Stadttor ist in der Mitte 5m hoch und am Boden 4,20m breit. Der Bogen beginnt in einer Höhe von 4m und hat die Form einer Parabel. Im linken Pfeiler befindet sich in einer Höhe von 2,5m ein Wappen, das beleuchtet werden soll. Dazu wird im Boden ein Licht installiert. a.  Stellen Sie die Form des Stadttors in einem Koordinatensystem graphisch dar. Legen Sie dabei die Innenseite des linken Pfeilers in den Ursprung. Stellen Sie die Gleichung für den Parabelbogen auf. Berechnen Sie, in welcher Entfernung vom Pfeiler das Licht im Boden eingesetzt werden soll, wenn das Wappen bei einem Lichteinfall von 75° am besten zur Geltung kommt. b. Ein LKW hat eine Breite von 2,50m. Ermitteln Sie die maximale Höhe, die der LKW haben darf, um durch das Stadttor durch- fahren zu können. Bestimmen Sie, um wie viel Zentimeter der LKW niedriger sein muss, wenn auf der rechten Seite ein 1,5m breiter Fahrradstreifen gekennzeichnet ist, der vom LKW nicht befahren werden darf. c. Der Torbogen kann durch den Graphen einer Funktion der Form f mit f(x) = ax 2 + bx + c beschrieben werden. Interpretieren Sie die Zahlen a, b und c hinsichtlich der Lage des Bogens im Koordinaten- system. Stellen Sie die diversen Möglichkeiten graphisch dar. 89 Wikingerschiff Archäologen haben festgestellt, dass der Rumpf von Überresten eines ausgegrabenen Wikinger- schiffs durch eine symmetrische Polynomfunktion 4. Grades f mit f(x) = a·x 4 + b·x 2 + c beschrie- ben werden kann, wobei die x-Achse die Wasserlinie und x die Länge in Meter angibt. Der Rumpf des Schiffes ragte dabei offenbar einen halben Meter aus dem Wasser heraus. a. Die symmetrische Funktion f 4. Grades hat ‒8 als Nullstelle. Die Tangente im Punkt (4 1 0) besitzt einen Steigungswinkel von α = 36,87°. Die Gerade mit Gleichung y = ‒2 berührt den Graphen der Funktion an der Stelle x = 0. Ermitteln Sie anhand der gegebenen Eigenschaften die Funktionsgleichung von f. Zeigen Sie, dass die Funktion f drei Extremstellen besitzt. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem. b. Ein mathematisch unbegabter Archäologe bestimmt f mit f(x) = ‒   1 _  12 x 4 +   13 _ 12 x 2 ‒ 3. Begründen Sie, wie viele Wendepunkte diese Funktion f besitzt. Geben Sie die Kriterien an, die notwendig und hinreichend sind, um die Wendepunkte der Funktion f zu ermitteln. Erklären Sie, wie sich die Funktion f ändern müsste, damit sich an der Stelle x = 0 anstatt eines Hochpunktes ein Sattelpunkt befinden würde. c. Das bestimmte Integral einer symmetrischen Funktion 4. Grades der oben beschriebenen Form mit einem Tiefpunkt an der Stelle x = 0 mit den äußeren Nullstellen als Integrations- grenzen ist 0. Beschreiben Sie, wie man eine solche Funktion 4. Grades ermitteln könnte. Begründen Sie, warum jedes der Flächenstücke unterhalb der x-Achse halb so groß wie das Flächenstück unter dem Funktionsgraphen zwischen den beiden inneren Nullstellen ist. Nur zu Prüfzw cken – Eig ntum des Verlags öbv