Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

63 Wahrscheinlichkeitsrechnung 84 Technisches Ersatzteil Ein besonderes technisches Ersatzteil besteht aus drei Komponenten A, B und C. Das Ersatzteil ist nur dann voll betriebsbereit, wenn alle drei Komponenten funktionstüchtig sind und der Zusammenbau der drei Einzelteile fehlerfrei erfolgt ist. Die Wahrscheinlichkeiten, dass die drei Komponenten A, B bzw. C fehlerhaft sind, betragen jeweils 1%, 1% bzw. 5%, während die Wahr- scheinlichkeit für einen Fehler im Zusammenbau der drei Komponenten bei 2% liegt. Der Produ- zent dieses technischen Ersatzteils weiß, dass diese vier Fehlertypen unabhängig voneinander auftreten. a. Eine Lieferung enthält 1 000 Exemplare. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Anzahl defekter Exemplare des Ersatzteils. Ermitteln Sie die Standardabweichung der Anzahl der defekten Exemplare. Das Unternehmen will für eine zufällig zusammengestellte Lieferung von 1 000 Exemplaren des Gerätes die Garantie geben, dass sich höchstens 110 defekte Exemplare in der Lieferung befinden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Garantieaussage zutrifft. b. Es ist bekannt, dass jedes defekte Ersatzteil der Herstellerfirma insgesamt 100€ an Kosten verursacht. Aufgrund dieser Tatsache soll die Frage entschieden werden, ob von der Möglich- keit Gebrauch gemacht werden soll, die Einzelteile des Typs C zu einer besseren Qualität und einem höheren Preis zu beziehen, sodass ein Teil C nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% defekt ist. Bestimmen Sie die Höhe des Aufpreises pro Stück des Teils C, die dieser höchstens haben darf, damit es sich nach dem Erwartungswert gerade noch lohnt, die Teile C der höheren Preisklasse zu beziehen. c. Die Qualitätsbeauftragte schlägt vor, für Wahrscheinlichkeiten über die Anzahl der defekten Ersatzteile bei einer Lieferung von 1 000 Exemplaren die Normalverteilung zu verwenden. Erklären Sie die durchzuführende Vorgehensweise. Argumentieren Sie, ob die Approximation mit der Normalverteilung gerechtfertigt oder nicht gerechtfertigt ist. 85 Glücksspiele Bei einer Party werden unterschiedliche Spiele gespielt und es findet eine Tombola statt. a. Bei der Tombola werden Lose verkauft, wobei jedes Los am Beginn der Tombola eine Gewinn- chance von 1 :10 hat. Bestimmen Sie, wie viele Lose Sie kaufen müssen unter der Annahme einer gleichbleiben- den Gewinnchance, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% etwas zu gewinnen. Bestimmen Sie, wie viele Lose gekauft werden müssen, wenn die Tombola 900 Lose ent- hält, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 25% etwas zu gewinnen. b. Zwei Spieler können sich zwei Bälle um 10€ kaufen und werfen von einem Punkt A und einem Punkt B jeweils abwechselnd auf eine Flasche, wobei der Spieler am Punkt A beginnt. Aus Erfahrung ist bekannt, dass Spieler von Punkt A mit einer Wahrscheinlichkeit von   1 _ 6 und Spieler von Punkt B mit einer Wahrscheinlichkeit von   1 _  10 treffen. Falls die Flasche getroffen wird, erhält der Spieler von Punkt A 30€ und der Spieler von Punkt B 35€; sonst haben beide ihren Einsatz verloren. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler von Punkt A gewinnt. Zeigen Sie, dass es sich um kein faires Spiel handelt. c. Bei der Party tritt das Problem auf, dass die Fläche, die von einer Parabel mit der Gleichung y = x 2 , der x-Achse und der zur y-Achse parallelen Geraden durch (1 1 0) bestimmt wer- den soll. Da die Fläche mit „Glück“ zu bestimmen sein sollte, wird vorgeschlagen ein Quadrat mit einer Kantenlänge 1 zu wählen und dort die Parabel einzuzeichnen. Dann soll zufällig mit Dartpfeilen darauf geworfen werden, sodass das abgebildete Bild entsteht. Argumentieren Sie, unter welchen Bedingungen der Anteil der Treffer auf und unterhalb der Parabel dem gesuchten Flächeninhalt entspricht. Argumentieren Sie, wie diese Berechnungsmethode verallgemeinert werden kann. x y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv