Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

62 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung 81 Graphologie Graphologen analysieren die Handschriften von Personen. Bei einem Einstellungstest werden einem Graphologen 8 Paare von Schriftproben vorgelegt, die jeweils von einem Arzt und einem Juristen geschrieben wurden. Der Graphologe soll eingestellt werden, wenn er in mindestens 6 Fällen die richtige Zuordnung herausfindet. a.  Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Graphologe nach diesem Test eingestellt wird, wenn er im Mittel mit seinen Analysen in 80% der Fälle richtig liegt. ƒƒ Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Graphologe nach diesem Test eingestellt wird, wenn er nur rät. b. Der Graphologe wurde eingestellt und bei seiner Pensionierung wird festgestellt, dass er insgesamt 7000 Gutachten erstellt hat. Nehmen Sie an, dass er im Mittel in 90% der Fälle richtigliegt. ƒƒ Modellieren Sie die Zufallsvariable, ein Gutachten richtig erstellt zu haben, unter der Verwendung der Approximation durch die Normalverteilung. ƒƒ Ermitteln Sie ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Anzahl der richtig erstellten Gutachten mit 70%iger Wahrscheinlichkeit liegt. c.  Beurteilen Sie, ob die Annahme einer Binomialverteilung für die Zufallsvariable, die die Anzahl der richtigen Zuordnung durch den Graphologen angibt, als gerechtfertigt angesehen werden kann. Angenommen der Graphologe hat durch die mehrmalige richtige Zuordnung einen Lern­ effekt, wodurch die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Zuordnung des Graphologen pro Zuordnung steigt. ƒƒ Argumentieren Sie, ob unter diesen Voraussetzungen die Annahme einer Binomialver­ teilung für die Zufallsvariable, die die Anzahl der richtigen Zuordnung durch den Graphologen angibt, als gerechtfertigt angesehen werden kann. 82 Fußballturnier Bei einem internationalen Fußballturnier werden die Paarungen für das Achtelfinale ausgelost. In einem Glasbehältnis befinden sich Zettel mit 8 Mannschaften aus Deutschland, 5 aus Öster- reich und 3 aus der Schweiz. Eine Person zieht willkürlich 2 Zettel aus dem Behältnis. a.  Erläutern Sie den Begriff der Abhängigkeit von Ereignissen und fassen Sie die wichtigsten Regeln bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse zusammen. b.  Erstellen Sie ein Baumdiagramm und lesen Sie daraus ab, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass es zu einem Aufeinandertreffen von Teams aus demselben Land kommt. ƒƒ Begründen Sie, dass es eher unwahrscheinlich ist, dass zwei Teams aus der Schweiz im Achtelfinale aufeinandertreffen. c.  Beurteilen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Teams nicht aus dem­ selben Land kommen, darauf schließen lässt, dass solche Paarungen häufiger auftreten können als Paarungen zwischen Teams aus demselben Land. ƒƒ Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es zu einem Aufeinandertreffen zwischen einem Deutschen und einem Schweizer Team kommt. 83 Sprachwoche Eine Gruppe von Schülerinnen und Schülern reist zu einer Sprachwoche mit einem Flugzeug mit 200 Sitzplätzen nach London. Beim Einchecken erfahren die Begleitpersonen, dass der Flug überbucht wurde. Da erfahrungsgemäß rund 5% der gebuchten Passagiere nicht zum Flug erscheinen, überbuchen Fluggesellschaften ihre Flüge in vielen Fällen. a.  Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Passagiere, die nicht zum Flug erscheinen, unter der Annahme einer Binomialverteilung. ƒƒ Erklären Sie, warum die Normalverteilung diesen Sachzusammenhang geeignet modelliert. b.  Untersuchen Sie, wie viele Flugtickets von der Fluggesellschaft verkauft werden können, damit mit 95%iger Wahrscheinlichkeit alle erschienenen Passagiere einen Platz im Flug- zeug haben. ƒƒ Folgern Sie, was in diesem Zusammenhang die Aussage „mit 95%iger Wahrscheinlichkeit“ bedeutet. c.  Erläutern Sie, warum das Überbuchen für die Fluggesellschaft keinen Schaden darstellt, selbst wenn alle Gäste erscheinen, die tatsächlich gebucht haben. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verla s öbv