Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

60 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung 77 Cannelloni In einer italienischen Nudelfabrik werden unterschiedliche Nudeln automationsunterstützt her- gestellt. Besonders beliebt sind Cannelloni mit einem Durchmesser von rund 3 cm. Bei Qualitäts- kontrollen werden regelmäßig 50 Cannelloni ausgewählt und überprüft. Es erweisen sich 3% der Cannelloni als fehlerhaft. Der durchschnittliche Durchmesser der Cannelloni ist 30mm und die Standardabweichung beträgt 2mm. a.  Stellen Sie die Verteilung der Cannellonidurchmesser anhand der Gaußschen Glocken kurve graphisch dar. Bestimmen Sie das symmetrische Intervall um den Erwartungswert, in dem mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% der Durchmesser einer zufällig ausgewählten Cannellone liegt. Erklären Sie, wie der symmetrische Bereich ermittelt werden kann, in dem die Cannelloni- durchmesser mit 90%iger Wahrscheinlichkeit liegen. b. Eine Firma bestellt für zwei verschiedene Standorte Cannelloni. Die Tabelle zeigt die Anzahl der fehlerhaften Packungen pro Lieferung. Jede Lieferung umfasst 50 Packungen. Standort A 2 3 5 1 0 1 Standort B 1 0 6 0 2 2 Berechnen Sie die relative Häufigkeit einer fehlerhaften Packung für beide Standorte. Erklären Sie den Zusammenhang zwischen der relativen Häufigkeit und der Wahrschein- lichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Packung der Lieferung fehlerhaft ist. Erläutern Sie, warum die Verteilung der Nudeldurchmesser durch die Normalverteilung modelliert werden kann. c. Um die Zufriedenheit der Kundinnen und Kunden sicherzustellen, müssen Maßnahmen in der Qualitätskontrolle ergriffen werden. Bestimmen Sie die Größe der Stichprobe, damit mit 95%iger Sicherheit bei einer Stich- probe mehr als 5 fehlerhafte Cannelloni gefunden werden. Erläutern Sie anhand der Gaußschen Glockenkurve, dass es nicht möglich ist, dass alle Cannelloni den Durchmesser von 3 cm aufweisen. 78 Rotphasen Wegen Bauarbeiten muss eine Fahrspur einer Straße gesperrt und der Gegenverkehr auf der anderen Fahrspur über eine Länge von 1 km mittels Ampelschaltung geregelt werden. Leider dauern die einzelnen Rotphasen vielen Autofahrerinnen und Autofahrern zu lange, sodass diese (mit einer Wahrscheinlichkeit von 9%) weiterhin die Strecke mit 50 km/h durchfahren, obwohl die Ampel bereits bis zu 3 Sekunden Rot zeigt. a.  Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 9 Autos mehr als eines die Ampel bei Rot passiert. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich von 80 Autofahrerinnen bzw. Autofahrern höchstens 8gesetzeswidrig verhalten. Erklären Sie, warum hier mit der Binomialverteilung gerechnet werden kann. b. Aus Erfahrung ist bekannt, dass der Reaktionsweg bei einer Bremsung im Mittel 15m beträgt bei einer Standardabweichung von 2m. Erklären Sie, warum der Reaktionsweg mit der Normalverteilung modelliert werden kann. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Reaktionsweg kleiner als 13m ist. c. Der Anhalteweg A (als Zufallsvariable) bei einer Bremsung setzt sich aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammen. Der Reaktionsweg ist normalverteilt mit Erwartungswert μ = 15m und Standardabweichung σ = 2m. Der Bremsweg ist normalverteilt mit Erwartungs- wert μ = 25m und Standardabweichung σ = 3m. Modellieren Sie den Anhalteweg A. Interpretieren Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Anhalteweg A zwischen 30m und 60m liegt. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv