Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

59 Wahrscheinlichkeitsrechnung 75 Sportwoche Eine Klasse mit 21 Buben und 5 Mädchen fährt auf Sportwoche. Jeden Abend wird ausgelost, wer für den Küchendienst eingeteilt wird, indem aus einer Schachtel jeweils ein Name gezogen wird. Danach wird der Name wieder in die Schachtel gegeben. Insgesamt wird 7-mal ein Name gezogen. a.  Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in der Woche nur eine einzige Person zum Küchendienst „verdonnert“ wird. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in der Woche höchstens zwei Mädchennamen gezogen werden. b.  Begründen Sie, dass zur Modellierung dieses Vorgangs eine Binomialverteilung herangezogen werden kann. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der gezogenen Mädchennamen. c.  Erläutern Sie, warum diese Methode wahrscheinlich nicht zu einer gerechten Einteilung des Küchendienstes führen wird. Bestimmen Sie ein Modell, das zu einer gerechteren Einteilung führen würde, und über prüfen Sie Ihre Annahmen. 76 Äpfel 95% der Äpfel, die ein Obsthändler an einen Supermarkt liefert, sind zwischen 125g und 170g schwer. Die Masse der einzelnen Äpfel ist normalverteilt und das angegebene Intervall liegt symmetrisch um den Erwartungswert. a.  Berechnen Sie den Erwartungswert. Ermitteln Sie die Standardabweichung. Stellen Sie die gegebene Situation in einer Skizze dar. Erläutern Sie, wie die Wahrscheinlichkeit für eine Masse von x Gramm unter Verwendung des Integrals der Dichtefunktion f mit f(x; μ , σ ) =   1 _  9 ___ 2· π · σ · e ‒  1 _  2 2    x ‒ μ _ σ    3 2 bestimmt werden kann. b. Symmetrisch um den Erwartungswert liegt die Standardabweichung σ . Zeigen Sie, dass es einen allgemeinen Zusammenhang gibt zwischen der Größe des σ -Bereichs und der Wahrscheinlichkeit, dass die Masse eines Apfels in diesem Bereich liegt. Beschreiben Sie, wie sich die Kurve der Normalverteilung ändert, wenn bei gleich bleibendem Erwartungswert die Standardabweichung größer wird. Begründen Sie, dass Wahrscheinlichkeitsberechnungen über die Masse der Äpfel mittels Normalverteilung gelöst werden können. c. Um einen höheren Preis durch eine höhere Güteklasse (Klasse Extra) zu erzielen, muss ein Apfel zwischen 150g und 170g wiegen. Der Obsthändler versucht erneut, schwerere bzw. leichtere Äpfel mit der Güteklasse Extra zu vermischen. Bei einer Lieferung von 10 Paletten stellt er zu 9 Paletten mit fast ausschließlich Äpfeln der Güteklasse Extra (unter 1 000 Äpfel nur einer nicht Klasse Extra) eine Palette, in der jeder zehnte Apfel nicht dieser höheren Güteklasse entspricht. Ein Einkäufer wählt zur Prüfung eine der 10 angelieferten Paletten zufällig aus und entnimmt zufällig einen Apfel. Ist der Apfel aus der Güteklasse Extra, wird die Lieferung angenommen, andernfalls wird die gesamte Lieferung abgelehnt. Begründen Sie, warum der Obsthändler versucht, Äpfel aus der Extra Klasse mit Äpfel aus einer niedrigeren Güteklasse zu vermischen. Erläutern Sie, wie die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden kann, dass die Lieferung abgelehnt wird. Erläutern Sie, wie Sie die Strategie des Einkäufers verbessern könnten, damit er mit einer höheren Wahrscheinlichkeit Äpfel nicht der Klasse Extra erkennt. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv