Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

58 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung Diskrete Zufallsvariable Stetige Zufallsvariable Erwartungswert E(X) = ;  i = 1   n p i x i E(X) = :  ‒ •   • x·f(x) dx Varianz V(X) = ;  i = 1   n p i (x i – E(X)) 2 V(X) = E((X – E(X)) 2 ) = :  ‒ •   • (x – E(x)) 2 ·f(x) dx Verschiebungssatz: V(X) = E(X 2 ) – E(X) 2 Standardabweichung σ = 9 ___ V(X) σ = 9 ___ V(X) Zufallsexperiment mit n unabhängigen Einzelversuchen X … Zufallsvariable, die angibt, wie oft ein Ereignis E eintritt p … Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von E P(X = k) = 2    n k   3 ·p k ·(1 – p) n – k E(X) = n·p, V(X) = n·p·(1 – p) σ = 9 ______ n·p·(1 – p) μ … Erwartungswert; σ … Standardabweichung Dichtefunktion f der Normalverteilung N( μ ; σ 2 ): f(x) =   1 _  9 __ 2 π · σ ·e ‒  1 _ 2 2    x – μ _ σ    3 2 Dichtefunktion φ der Standardnormalverteilung N(0; 1 2 ): φ( x) =   1 _  9 __ 2 π ·e ‒  x 2 _  2 Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung N(0; 1 2 ): Φ (z) = P(Z ª z) = :  ‒ •   z φ (x) dx X ~ N(μ;  σ 2 ) w Z =   X – μ _ σ  ~ N(0; 1 2 ) F(x) = Φ 2   x – μ _ σ    3 P(X ª a) = Φ 2   a – μ _ σ    3 P(X º a) = 1 – Φ 2   a – μ _ σ    3 P(a ª X ª b) = Φ 2    b – μ _ σ    3 – Φ 2   a – μ _ σ    3 Der Graph der Dichtefunktion der Normalverteilung heißt Gaußsche Glockenkurve . Der Graph der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung sieht so aus: X ~ B n,p w Erwartungswert µ = n·p; Standardabweichung σ = 9 ______ n·p·(1 – p) Wenn σ > 3, bzw. σ 2 > 9 ist, so kann man die Verteilung von X durch die Normalverteilung N(µ; σ 2 ) approximieren. Es gilt (mit Stetigkeitskorrektur): P(X = a) ≈ Φ 2    a + 0,5 – μ __ σ    3 – Φ 2    a – 0,5 – μ __ σ    3 P(X ª a) ≈ Φ 2    a + 0,5 – μ __ σ    3 P(X º a) ≈ 1 – Φ 2    a – 0,5 – μ __ σ    3 P(a ª X ª b) ≈ Φ 2    b + 0,5 – μ __ σ    3 – Φ 2    a – 0,5 – μ __ σ    3 Kenngrößen von Zufallsvariablen Binomial verteilung X ~ B n, p Normal verteilung X ~ N(μ; σ 2 ) x φ (x) 0 0,2 0,4 - 4 4 3 2 1 - 3 - 2 -1 Approximation der Binomial verteilung durch die Normal verteilung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv