Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

55 Trigonometrie 71 Landvermessung Zur Vermessung von Land wurden früher unter anderem „trigonometrische Netze“ verwendet. Das Gebiet, das vermessen werden sollte, wurde mit einem Netz aus Festpunkten überzogen. a. Ein Abschnitt eines trigonometrischen Netzes führt durch ein nicht zugängliches Stück Land, dessen Länge b nicht gemessen werden kann. Doch es können die Länge der Strecke a mit 590m sowie der Länge c mit 440m und zusätzlich der Winkel β mit 65° gemessen werden. ƒƒ Bestimmen Sie die Länge der Strecke b. ƒƒ Beschreiben Sie, ob es auch möglich ist die Länge b zu bestimmen, falls nur eine Seite a oder c und zwei beliebige Winkel gegeben sind. b. Bei einem Fluss soll ein Damm gebaut werden. Die Querschnittsfläche ist ein Trapez. Die Dammsohle ist 12m, die Böschungslänge 9m und die Dammkrone 3m lang. ƒƒ Erklären Sie, wie die Querschnittsfläche berechnet werden kann, wenn der Böschungs- winkel 30° ist. ƒƒ Erklären Sie, wie Sie ohne trigonometrische Funktionen die Querschnittsfläche berechnen können, wenn der Böschungswinkel 45° ist. c. Durch die Punkte A und D soll in einem unwegsamen Land eine geradlinige Strecke gezogen werden. Die Länge d und die beiden Absteckwinkel α und δ können nicht ermittelt werden. ƒƒ Erläutern Sie, wie es möglich ist, diese Bestimmungsstücke zu ermitteln, wenn die ande- ren Bestimmungsstücke bekannt sind. 72 Elisabeth Tower Der Uhrturm „Elisabeth Tower“ am Place of Westminster in London beherbergt die berühmte Glocke Big Ben. Zu einer bestimmten Tageszeit wirft der Uhrturm einen Schatten von 67,8m. Um seine tatsächliche Höhe zu bestimmen, stellt sich ein 1,70m großer Mensch daneben und misst seinen Schatten von 1,20m. a.  Stellen Sie den Sachverhalt in einer einfachen Skizze dar. ƒƒ Berechnen Sie die Höhe des Uhrturms. ƒƒ Beschreiben Sie, welcher mathematische Zusammenhang in der Aufgabenstellung zwischen der Höhe des Towers und der Größe des Menschen ersichtlich wird. b.  Analysieren Sie, wie Sie mithilfe trigonometrischer Funktionen die Höhe des Elisabeth Towers ermitteln könnten, selbst wenn die Sonne nicht scheint. c.  Beurteilen Sie mindestens zwei verschiedene Möglichkeiten, wie die Höhe eines Gebäu- des bestimmt werden kann. α γ β a c b B C A Dammsohle Böschungslänge Böschungswinkel Dammkrone Dammhöhe δ α γ β a c b d D C B A Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv