Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

54 7 Trigonometrie 69 Grafenbergbahn Die Grafenbergbahn in der Salzburger Sportwelt Amadée bringt die Urlauberinnen und Urlauber von der Talstation, die auf 862m Seehöhe liegt, zur Bergstation. Diese befindet sich in 1713m Seehöhe. Die Bahn legt dabei eine Strecke von 3026m zurück. a.  Stellen Sie den Sachverhalt graphisch dar. ƒƒ Berechnen Sie den durchschnittlichen Steigungswinkel der Bahn. ƒƒ Vergleichen Sie, ob diese Bahn steiler ist als die Zwölferhornseilbahn in St. Gilgen mit einem Anstieg von 35,1%. b. Die Funktionswerte von Winkeln bezüglich Winkelfunktionen sind innerhalb einer Periode eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist das nicht der Fall. Kennt man den Funktionswert bezüg- lich einer Winkelfunktion, so gibt es zwei Winkel, die diesen ergeben. ƒƒ Beschreiben Sie, wie Sie bei folgenden Aufgaben alle in Frage kommenden Winkel ermitteln können. sin( α ) = ‒ 0,4 und cos( β) = 0,8 ƒƒ Begründen Sie, dass die Funktionswerte der Funktionen Sinus und Cosinus im Bereich [‒1; 1] liegen. c. Zum Eingang der Grafenbergbahn gelangt man über 8 Stufen mit einer Stufenhöhe von jeweils 18 cm. Für Menschen mit Gehbehinderung soll eine Rampe gebaut werden. Diese darf nach dem Gesetz maximal eine Steigung von 6% aufweisen. Die Rampe soll entlang der Hausmauer neben den Stufen errichtet werden. Der Bereich ist 14m lang. ƒƒ Argumentieren Sie, ob die Rampe gemäß den gesetzlichen Vorschriften entlang der Mauer errichtet werden kann. ƒƒ Diskutieren Sie weitere Möglichkeiten der Rampenführung. 70 Hohensalzburg Die Festung Hohensalzburg trohnt ca. 120m über der Stadt Salzburg und ist über die Festungs- bahn, einen Schrägaufzug, ohne Anstrengung zu erreichen. Von verschiedenen Orten in der Stadt Salzburg ist die Festung aus unterschiedlichen Winkeln unübersehbar. a. Von der Talstation überwindet die Festungsbahn auf einer Länge von 198,5m einen Höhenun- terschied von 96,6m. ƒƒ Berechnen Sie den Steigungswinkel, den die Trasse der Festungsbahn mit der Horizontalen einschließt. ƒƒ Bestimmen Sie den Horizontalabstand der Talstation zum Fußpunkt der Bergstation der Festungsbahn. b. Die Sphaera ist eine überdimensionale Kugel auf dem Kapitelplatz und befindet sich 322m vom Fußpunkt der 30m hohen Kuenburgbastei entfernt. In einer Höhe von 9 Metern steht darauf eine ca. 1,8m hohe Figur. ƒƒ Schätzen Sie mithilfe einer Skizze ab, wie weit ein Beobachter, der ebenfalls 1,8m groß ist, vom Fußpunkt der Sphaera entfernt stehen muss, damit er die Kuenburgbastei, die 150 Höhenmeter über dem Standort des Betrachters liegt, und den Kopf der auf der Sphaera stehenden Figur in einer Linie sehen kann. ƒƒ Erläutern Sie, wie Sie die Entfernung des Betrachters zur Sphaera ermitteln könnten. c. Auf der anderen Seite der Salzach, gegenüber dem Festungsberg, liegt der 636m hohe Kapuzinerberg in einer Entfernung von einem Kilometer. ƒƒ Erläutern Sie die Voraussetzungen, die benötigt werden, um die Höhe des Festungsbergs von diesem Ort aus berechnen zu können. ƒƒ Erklären Sie, wie Sie die Berechnung durchführen würden. ƒƒ Zeigen Sie, dass der Festungsberg ca. 542m hoch ist, wenn vom Festungsberg zum Kapuzinerberg ein Höhenwinkel von 5,37° ermittelt wurde. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv