Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

53 Trigonometrie 67 Wiener Melange Ein österreichischer Künstler stellt auf einer internationalen Messe für Moderne Kunst ein von ihm konstruiertes Riesenrad namens „Wiener Melange“ vor. Das Riesenrad hat einen Durchmes- ser von 20m. Die Besonderheit des Kunstwerks ist, dass sich die Gondeln des Riesenrads nicht nur ober-, sondern auch unterirdisch bewegen, womit der Künstler das Auf und Ab des Lebens visualisieren möchte. Die Erdoberfläche kann als Achse des modernen Kunstwerks betrachtet werden. Jeweils an der äußeren Kante der „Wiener Melange“ befinden sich in regelmäßigen Abständen die Gondeln, die als Kaffeetassen angedeutet sind. Insgesamt wurden acht Gondeln befestigt. Die Abbildung zeigt eine Momentaufnahme, in der je zwei Gondeln auf exakt gleicher Höhe positioniert sind. a.  Bestimmen Sie die Winkel, die die überirdischen Riesenradstreben mit dem Erdboden einschließen. Betrachten Sie die Höhen in Meter über und unter der Erde als positive und negative Zahlen. ƒƒ Ermitteln Sie die Höhenangaben der Gondeln unter der Erde. b. Ein Messebesucher steht vor der Wiener Melange und sieht gerade auf die Gondel Nummer 2. Er kann diese unter einem Höhenwinkel von 10° betrachten. ƒƒ Bestimmen Sie, wie weit der Messebesucher von der „Wiener Melange“ entfernt steht, wenn sich die Gondel Nummer 2 in 9,24m Höhe befindet. c. Argumentieren Sie, warum die kürzeste Entfernung zwischen zwei Gondeln 7,65m ist. 68 Donauturm Ein Tourist befindet sich auf derselben horizontalen Ebene wie der Fußpunkt des Donauturms, ein Aussichtsturm im 22. Wiener Gemeindebezirk. Er sieht die untere Aussichtterrasse des Tur- mes unter dem Höhenwinkel α = 33,11° und seine Spitze unter dem Höhenwinkel β = 47,61°. Von der unteren Aussichtsterrasse bis zur Spitze misst der Turm 102m. a.  Erstellen Sie eine vereinfachte Skizze zum gegebenen Sachverhalt und beschriften Sie diese. Vernachlässigen Sie dabei die Größe des Touristen und dass die Aussichtsterrasse einen größeren Durchmesser hat als der Donauturm selbst. Stellen Sie diesen als Senk- rechte auf die horizontale Ebene dar. ƒƒ Berechnen Sie die Gesamthöhe des Donauturms. b. In der Trigonometrie spielen die Winkelfunktionen Tangens, Sinus und Cosinus eine bedeutende Rolle. ƒƒ Erklären Sie mithilfe des Einheitskreises, wie diese drei Winkelfunktionen definiert sind. ƒƒ Zeigen Sie anhand einer Grafik, warum die Reduktionsformel sin( α ) = sin(180° – α ) gilt. c. Helga möchte ein Foto von den beiden Aussichtsterrassen, die sich in 150m und in 155m Höhe befinden, machen. Um ein schönes Foto zu erhalten, sollte ein Sehwinkel von mindes- tens 30° eingehalten werden. Helga befindet sich 80m vom Fußpunkt des Turmes entfernt. ƒƒ Überprüfen Sie, ob in diesem Fall die Mindestgröße des Winkels eingehalten werden kann. ƒƒ Erläutern Sie Alternativen, wie ein „schönes“ Foto entstehen kann. 3 4 5 6 7 8 1 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv