Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

46 6 Beschreibende Statistik und Regressionsrechnung Regression Gegeben sind Zahlenpaare (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), …, (x n , y n ) und eine Funktion f: R ¥ R . Die Summe der Fehlerquadrate ist ;  i = 1   n (f(x i ) – y i ) 2 . Bei Regression wird eine Funktion f gesucht, für die die Summe der Fehlerquadrate minimal ist. f: R ¥ R , f(x) = ax + b Diese Zahlen a und b sind Lösungen des linearen Gleichungssystems a ;    x i   2 + b ;    x i = ;    x i y i a ;    x i + n·b = ;    y i . Es ist a =   ;    x i y i – n· _ x· _ y ___ ;    x i 2 – n· _ x 2 und b = _ y– a· _ x. Stichprobenkorrelationskoeffizient (Korrelationskoeffizient nach Pearson) r =   ;    (x i – _ x)(y i – _ y) ___   9 ___ _ ;    (x i – _ x) 2  · 9 _ ___ ;    (y i – _ y) 2 · r ist ein Maß für die lineare Abhängigkeit der beiden Merkmale. Je größer der Betrag von r ist, umso mehr nähern sich die Beobachtungspunkte der Regressionsgeraden an. Für Korrelations koeffizienten † r † > 0,6 gilt der Zusammenhang als stark, für † r † > 0,8 sogar als sehr stark. Das Quadrat des Korrelationskoeffizienten heißt Bestimmtheitsmaß . f: R ¥ R , f(x) = ax 2 + bx + c Diese Zahlen a, b und c sind Lösungen des linearen Gleichungssystems a ;    x i   4 + b ;    x i   3 + c ;    x i   2 = ;    x i   2 y i a ;    x i   3 + b ;    x i   2 + c ;    x i = ;    x i y i a ;    x i   2 + b ;    x i + c·n = ;    y i . f: R ¥ R , f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d Diese Zahlen a, b, c und d sind Lösungen des linearen Gleichungssystems a ;    x i   6 + b ;    x i   5 + c ;    x i   4 + d ;    x i   3 = ;    x i   3 y i a ;    x i   5 + b ;    x i   4 + c ;    x i   3 + d ;    x i   2 = ;    x i   2 y i a ;    x i   4 + b ;    x i   3 + c ;    x i   2 + d ;    x i = ;    x i y i a ;    x i   3 + b ;    x i   2 + c ;    x i + d·n = ;    y i . f: R ¥ R , f(x) = b·e ax a =   ;    x i ·ln(y i )– n· _ x· ____ ln(y) _____  ;    x i   2 – n· _ x 2 und ln(b) = _ ln(y)– a· _ x Summe der Fehlerquadrate Lineare Regression y x f Quadratische Regression y x f y x f Kubische Regression Exponentielle Regression y x f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv