Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

37 Differentialrechnung und Integralrechnung 44 Erholungsbad Ein Becken für ein Erholungsbad soll 45m lang und 10m breit sein. Der Boden soll einem Fluss- bett nachempfunden werden und kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion f mit f(x) = ‒ 0,0106​x​ 3 ​+ 0,23​x​ 2 ​– 1,24x + 2 beschrieben werden (x in Meter, f(x) in Meter). Die Grafik zeigt den Querschnitt des Beckens. a. Das Aushubmaterial des Beckens soll berechnet werden. ƒƒ Geben Sie ein bestimmtes Integral an, mit dem man die Querschnittsfläche des Beckens berechnen kann. ƒƒ Berechnen Sie, wie viel Kubikmeter Erde ausgehoben werden müssen. Dokumentieren Sie die Rechenschritte. ƒƒ Erläutern Sie weitere Möglichkeiten zur Berechnung der Querschnittsfläche. b.  Erklären Sie, wie eine Fläche ohne Integralrechnung näherungsweise mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden kann. ƒƒ Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Integral. ƒƒ Zeigen Sie, warum bei der Berechnung des bestimmten Integrals die Integrations­ konstante nicht mehr berücksichtigt werden muss. c. Am Boden soll die Linie der tiefsten Stelle markiert werden. ƒƒ Erklären Sie, wie die tiefste Stelle mithilfe der Differentialrechnung ermittelt werden kann. An der tiefsten Stelle soll ein Sprudel entstehen. Um diesen zu installieren, wird 1,8m unter der Wasseroberfläche eine horizontale Plattform eingezogen. ƒƒ Beschreiben Sie, auf welche Arten nun die neue Querschnittsfläche (oberhalb der Platt- form) ermittelt werden kann. 45 Motorboot Während eines Ausflugs wird die Geschwindigkeit (in m/min) eines Motorbootes zur Zeit t (in min) durch die Funktion v mit v(t) = 700·(​e​ ‒t ​– ​e​ ‒3t​ ​) angegeben. a.  Zeichnen Sie den Graphen der Funktion v für einen sinnvollen Zeitbereich. ƒƒ Erklären Sie, warum die Funktion v ein absolutes Maximum besitzt. b.  Erklären Sie, wie sich aus der Geschwindigkeitsfunktion v die Wegfunktion s und die Beschleunigungsfunktion a ermitteln lässt. ƒƒ Vergleichen Sie die Momentangeschwindigkeit nach 2 s Fahrt mit der mittleren Geschwindigkeit von 0 s bis 2 s. ƒƒ Bestimmen Sie den Weg, den das Motorboot zwischen 2 s und 5 s zurückgelegt. c.  Argumentieren Sie, warum die Beschleunigungsfunktion a auch negative Werte annehmen kann. ƒƒ Beurteilen Sie, ob Sie einen Zeitpunkt mittels Differentialrechnung bestimmen können, zu dem der Betrag der Beschleunigung am größten ist. x in Meter y in Meter 0 1 2 3 1 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Querschnitt des Beckens rechter Beckenrand linker Beckenrand Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv