Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

35 Differentialrechnung und Integralrechnung 41 Kostenänderungen in einer Produktion In einem Betrieb fallen für die Produktion von x Präzisionsfrästeilen Kosten in GE an, die durch die Funktion f mit f(x) = 0,025x 2 + 10x + 1 600 für eine Stückzahl bis 450 Stück beschrieben wer- den können. a.  Stellen Sie die Kostenfunktion über einem sinnvollen Intervall graphisch dar. Berechnen Sie, um wie viel GE sich die Kosten erhöhen, wenn die Produktion von 100 auf 400 Stück erhöht wird. Erklären Sie, warum für die Kostenänderung bei der gegebenen Funktion die mittlere Änderungsrate aussagekräftiger ist als die Änderungsrate. b. Die Kostenbelastung sinkt zunächst pro Stück, nimmt jedoch ab einer bestimmten Stückzahl wieder zu. Damit ändert sich der Verlauf der Kostenfunktion. Der neue Verlauf ist durch den Graphen der Funktion g dargestellt. Zeichnen Sie in der Grafik die Änderungsrate für die Kosten bei einer Steigerung der Produktion von 100 auf 500 Stück ein. Interpretieren Sie anhand der Grafik, welche Bedeutung die Wendestelle einer Kosten- funktion hinsichtlich der Kosten und des Kostenzuwachses hat. Vergleichen Sie die Lage der Tangenten vor und nach der Kostenkehre. Was können Sie daraus in Bezug auf die erste und zweite Ableitung der Funktion schließen? c. Die Produktion liegt derzeit bei 450 Stück und soll auf 500 Stück erhöht werden. Ermitteln Sie die durchschnittliche Kostenbelastung für 1 Stück. Interpretieren Sie die Bedeutung der ersten Ableitung für den Verlauf einer Funktion. Erklären Sie, warum die erste Ableitung den Kostenzuwachs bei Erhöhung um ein Stück darstellt. 42 Museumsfassade Eine Museumsfassade hat eine Breite von 20m und eine Höhe von 12m. Es gibt einen verglasten Bereich, der durch den Graphen der Polynomfunktion 3. Grades f mit f(x) = ‒   43 _  7200  x 3 +   979 _  7200  x 2 –   119 _ 360 x + 2 (0 ª x ª 20) wellenförmig begrenzt wird, wobei x die Breite in Meter angibt und f(x) die Höhe der Verglasung vom Boden beginnend in Meter. a.  Stellen Sie den verglasten Bereich der Fassade in einem geeignet skalierten Koordinaten- system graphisch dar. Berechnen Sie die Höhe der linken und rechten Begrenzung der Glasfläche. Ermitteln Sie die Fläche des Glases in Quadratmeter. b. Die geschwungene Form der Verglasung ist dem Innenbereich einer Höhle nachempfunden. Beschreiben Sie, in welchem Intervall der Innenraum der Höhle niedriger wird und in welchem Intervall er höher wird. Erklären Sie, wie diese Bereiche mithilfe der Differentialrechnung bestimmt werden können. Berechnen Sie mithilfe der Differentialrechnung die minimale und maximale Höhe des verglasten Bereiches. c.  Argumentieren Sie, wie groß die Gesamtfläche des Glases ist, wenn nur rechteckige Glas- scheiben der Breite 2m produziert werden können und jeweils direkt der Zuschnitt bei der Museumsfassade erfolgt. Argumentieren Sie, warum das Integral zwischen 0m und 20m nur eine untere Grenze der Gesamtfläche von rechteckigen Glasscheiben der Breite 2m sein kann. x in Stück g(x) in GE 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 500 400 600 700 300 200 100 0 g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv