Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

34 4 Differentialrechnung und Integralrechnung 39 Fallschirmsprung Eine Person, die einen Fallschirmsprung aus einer großen Höhe absolvieren möchte, fällt vor dem Öffnen des Schirms mit einer Geschwindigkeit v(t) = g·t, wobei g = 9,81m/s 2 die Erdbeschleu nigung und t die Zeit in Sekunden ist. Nach 5s freien Falls öffnet die Person den Fallschirm, wodurch der Fall durch Luftwiderstand und durch den Aufwind gebremst wird. Diese Brems wirkung entgegen der Erdbeschleunigung wird durch die Funktion b mit b(t) = (k + a·t)·e ‒ α ·t (in m/s 2 ) beschrieben. Dabei sind α = 0,1   1 _  s und a = 1m/s 3 . k in m/s 2 und t º 0 in s sind gegeben. a.  Bestimmen Sie für 0 ª t ª 5 den Weg s(t), den die Person innerhalb der Zeit von 0 s bis 5 s senkrecht fällt. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion b für verschiedene Zahlen k (k = 15, 20, 25) über dem Intervall [0; 10]. b.  Erklären Sie, welchen Einfluss die Zahl k auf die Bremswirkung hat, wenn die Zeit sehr groß wird. Begründen Sie, dass die Momentanbeschleunigung und die mittlere Beschleunigung innerhalb der ersten 5 s zu jedem Zeitpunkt gleich sind. Stellen Sie eine Gleichung für die Geschwindigkeit auf, mit der die Zahl k bestimmt wer- den kann, falls 10 Sekunden nach Öffnung des Fallschirms die Momentangeschwindigkeit 2m/s beträgt. c. Die Person fährt mit dem Auto mit gleichförmiger Geschwindigkeit von 80 km/h zum 20 km entfernten Flughafen und nach dem Fallschirmsprung von dort weiter zu einem Freund. Die Entfernung d(t) (in km) zur Zeit t (in h) zum Flughafen ist d(t) = {    † 20 – 80t † für 0 ª t <   1 _ 4  0 für   1 _ 4 ª t <   9 _ 4   † 20 – 80(t – 2) † für t º   9 _ 4   . Argumentieren Sie, warum d an der Stelle   1 _ 4 nicht differenzierbar ist. Beurteilen Sie, ob d außer an der Stelle   1 _ 4 differenzierbar ist. Beurteilen Sie die Richtigkeit der Aussage, dass die Funktion d für t º 0 nicht stetig ist, da sie nicht an allen Stellen t º 0 differenzierbar ist. 40 Zuflussrohr Das Zuflussrohr einer Fontäne hat eine konstante Querschnittsfläche. Das Wasser fließt zur Zeit t (0 ª t ª 1; t in Sekunden) an jeder Stelle mit der gleichen Geschwindigkeit v(t) = ‒100 t 2 + 100t + 300 cm/s. Die Geschwindigkeitsfunktion v ist eine periodische Funktion mit Periode 1. a. Nehmen Sie an, dass die Querschnittsfläche der Fontäne gleich 10 cm 2 ist. Ermitteln Sie, wie viel Liter Wasser pro Stunde durch den Querschnitt des Zuflussrohres strömen. Ermitteln Sie das Volumen des Wassers, das in der ersten Viertelstunde durch den Querschnitt des Zuflußrohres strömt. b.  Ermitteln Sie die Beschleunigung a(t) zur Zeit t mit 0 ª t ª 1. Stellen Sie den Verlauf der Beschleunigung a innerhalb der ersten 3 Sekunden graphisch dar. c.  Argumentieren Sie, wie Sie die Geschwindigkeitsfunktion v, die eine periodische Funktion mit Periode 1 ist, durch eine konstante Geschwindigkeitsfunktion approximieren können. t in s v(t) in cm/s 0 1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8 2 3 50 200 250 300 350 0 100 150 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv