Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

33 Differentialrechnung und Integralrechnung 36 Süßwaren Familie Naschkätzchen ist ganz versessen auf Süßigkeiten und hat stets einen Vorrat an unter- schiedlichen Leckereien zuhause. Der mittlere Verbrauch von Süßwaren der Familie hängt vom monatlichen Familieneinkommen x ab (beide Größen gemessen in Euro/Monat) und wird durch die Funktion v mit v(x) = 63,41·e ‒  1963 _ x  + 0,59 beschrieben. a.  Erklären Sie, warum die Funktion v streng monoton steigend ist. Beschreiben Sie den Verlauf des Süßwarenverbrauchs, falls das Einkommen ständig wächst und beliebig groß wird. b. Die Elastizität des mittleren Verbrauchs v von Süßwaren bei einem monatlichen Familien einkommen von x Euro ist definiert als ε v, x = v’(x)·  x _  v(x) . Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f mit f(x) = ε v, x . Zeigen Sie, dass die Funktion f mit f(x) = ε v, x konvex ist. Dokumentieren Sie, wie Sie unter Nutzung der Elastizität bestimmen können, um wie viel Prozent sich näherungsweise der Süßwarenverbrauch ändert, wenn sich das Familienein- kommen von 4.500€ um 2% erhöht. c.  Bestimmen Sie jenes Einkommen x, bei dem sich der mittlere Verbrauch von Süßwaren am stärksten verändert. Erklären Sie, wie Sie den mittleren Verbrauch v durch eine lineare Funktion an einer fest- gewählten Stelle x approximieren können. 37 Radfahrer Ein sportlich begeisterter Radfahrer hat sich selbst zum Ziel gesetzt, eine Strecke von 100km Länge mit konstanter Geschwindigkeit zurückzulegen. a.  Ermitteln Sie die konstante Geschwindigkeit des Radfahrers, falls dieser für diese Strecke 8 Stunden benötigt. Der Radfahrer überschätzt seine Leistungsfähigkeit und kann nur 5 Stunden lang eine konstante Geschwindigkeit von 11 km/h halten und bremst dann gleichmäßig mit 1 km/h 2 . Bestimmen Sie die Zeit, die der Radfahrer nun für die 100 km benötigt. Ermitteln Sie die Momentangeschwindigkeit beim Erreichen des Ziels nach insgesamt 100 km. b. Der Radfahrer entschließt sich, seine Fahrt einmal zu unterbrechen und eine halbstündige Pause einzulegen. Er fährt 5 Stunden mit konstanter Geschwindkeit von 12km/h und bremst dann mit konstanter Beschleunigung von 5 km/h 2 , bis er zum Stillstand kommt. Nach der Pause beschleunigt er mit konstanter Beschleunigung von 7km/h 2 und fährt bei Erreichen einer Geschwindigkeit von 11 km/h mit dieser, bis er das Ziel nach insgesamt 100km erreicht hat. Skizzieren Sie den Graphen der Geschwindigkeitsfunktion v. Ermitteln Sie die Zeit, nach der der Radfahrer 100 km zurückgelegt hat. c. Bei einer Geschwindigkeit von x km/h benötigt der Radfahrer anschließend eine Ruhepause von   x 2 _  160 Stunden, bis er wieder fit ist. Erklären Sie, wie Sie die Geschwindigkeit ermitteln können, mit der der Radfahrer fahren sollte, damit er mögichst schnell auch wieder fit am Zielort ist. Weisen Sie nach, dass der Radfahrer nach 2,5h nach Zieleinfahrt wieder fit ist. 38 Fahrübung Ein PKW fährt auf einem Übungsplatz von seinem Parkplatz weg, um eine Fahrübung zu absolvieren. Seine Geschwindigkeit in den ersten 5 Sekunden wird durch die Geschwindigkeits- funktion v mit v(t) = 2t (t in Sekunden; v(t) in m/s) beschrieben. Der danach in t Sekunden zurückgelegte Weg ist s(t) = 30t – 125 (t in Sekunden; s in Meter). a.  Ermitteln Sie die mittlere Geschwindigkeit des PKW in den ersten 4 Sekunden. Vergleichen Sie die mittlere Geschwindigkeit in den ersten 4 Sekunden mit der Momentangeschwindigkeit in der vierten Sekunde. b.  Zeichnen Sie ein Zeit-Weg-Diagramm für die ersten 10 Sekunden. Geben Sie an, wie die Momentangeschwindigkeit nach 2 Minuten berechnet werden kann. c.  Stellen Sie die Beschleunigungsfunktion a für die ersten 10 Sekunden graphisch dar. Argumentieren Sie, ob es möglich ist, dass die Geschwindigkeitsfunktion v nach 4 Minuten die Form v(t) = 210 – t aufweist (t in Sekunden). Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv