Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

32 4 Differentialrechnung und Integralrechnung Eigenschaften von Funktionen Nullstelle einer Funktion f Zahl a im Definitionsbereich mit f(a) = 0 (a 1 0) ist dann ein Schnittpunkt des Graphen von f mit der x-Achse. Eine Funktion f ist streng monoton wachsend auf dem Intervall (a; b) , wenn für alle Zahlen z 1 , z 2 * (a; b) gilt: ​z​ 1 ​< ​z​ 2 ​ w f(​z​ 1 ​) < f(​z​ 2 ​) Wenn f differenzierbar und streng monoton wachsend ist, dann ist f’(x) > 0 für alle x * (a; b). Eine Funktion f ist streng monoton fallend auf dem Intervall (a; b) , wenn für alle Zahlen z 1 , z 2 * (a; b) gilt: ​z​ 1 ​< ​z​ 2 ​ w f(​z​ 1 ​) > f(​z​ 2 ​) Wenn f differenzierbar und streng monoton fallend ist, dann ist f’(x) < 0 für alle x * (a; b). In einer Umgebung von a ist f(a) der größte (lokale Maximumstelle) oder der kleinste (lokale Minimumstelle) Funktionswert von f. Dann ist E = (a 1 f(a)) ein Extrempunkt ( Hochpunkt wenn a Maximum- stelle; Tiefpunkt , wenn a Minimumstelle) Notwendige Bedingung: f’(a) = 0 f’’(a) < 0 w a lokale Maximumstelle f’’(a) > 0 w a lokale Minimumstelle Der Graph einer Funktion f ist konvex bzw. linksgekrümmt auf dem Intervall (a; b), wenn für je zwei Punkte auf dem Graphen ihre Verbindungsstrecke „oberhalb“ des Graphen liegt. Wenn f differenzierbar ist, ist f’’(x) > 0 für alle x * (a; b). Der Graph einer Funktion f ist konkav bzw. rechtsgekrümmt auf dem Intervall (a; b), wenn für je zwei Punkte auf dem Graphen ihre Verbin- dungsstrecke „unterhalb“ des Graphen liegt. Wenn f differenzierbar ist, ist f’’(x) < 0 für alle x * (a; b). Die Zahl a heißt Wendestelle einer differenzierbaren Funktion f, wenn a eine Extremstelle ihrer Ableitung f’ ist. Der Punkt W = (a 1 f(a)) heißt dann Wendepunkt der Funktion f. Notwendige Bedingung: f’’(a) = 0 Ein Wendepunkt S = (a 1 f(a)) von f mit f’(a) = 0 heißt Sattelpunkt der Funktion f. Notwendige Bedingungen: f’’(a) = 0  und  f’(a) = 0 (Wendepunkt mit waagrechter Tangente) y x 0 1 1 (a 1 0) f Nullstelle y x a z 1 z 2 b f( z 2 ) f( z 1 ) f Monotonie y x a z 1 z 2 b f( z 1 ) f( z 2 ) f y x a E f Extremstelle, Extrempunkt y x a b f Krümmungs­ verhalten y x a b f y x a W f Wendestelle y x a S f Sattelpunkt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv