Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

29 Differentialrechnung und Integralrechnung 4 Differentialrechnung und Integralrechnung Grundlagen Der Graph einer stetigen Funktion hat über seinem Definitionsbereich keine „Sprungstellen“. f ist stetig. f ist nicht stetig. Differentialrechnung Der Differenzenquotient ​  f(b) – f(a) __ b – a  ​ der Funktion f über dem Intervall [a; b] ist die Steigung der Sekante durch die Punkte (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)) des Graphen von f. Anwendung Durchschnittsgeschwindigkeit im Zeitintervall [​t​ 1 ​; ​t​ 2 ​]: ​ _ v​= ​  s(t 2 ) – s(t 1 ) __ t 2 – t 1 ​ Durchschnittsbeschleunigung im Zeitintervall [​t​ 1 ​; ​t​ 2 ​]: ​ _ a​= ​  v(t 2 ) – v(t 1 ) __  t 2 – t 1 ​ Eine Funktion f: M ¥ R heißt in a * M differenzierbar , wenn der Differentialquotient f’(a) = ​lim    z ¥ a ​  f(z) – f(a) __ z – a  ​= ​lim    h ¥ 0 ​  f(a  +  h) – f(a) __ h  ​ existiert. Diese Funktion heißt differenzierbar , wenn sie in jedem Element von M differenzierbar ist. Die Funktion f’ heißt dann Ableitung von f. Ist auch f’ differenzierbar, dann heißt f’’ = (f’)’ die zweite Ableitung von f. Anwendung Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t: v(t) = s’(t) Momentanbeschleunigung zum Zeitpunkt t: a(t) = v’(t) = s’’(t) Die Tangente an den Funktionsgraphen einer differenzierbaren Funktion f an der Stelle a ist der Graph der linearen Funktion t mit t(x) = f(a) + f’(a)·(x – a). Stetigkeit y x 0 1 1 f y x 0 1 1 f y x 0 f(a) f(b) b a f(b) – f(a) b – a f (a 1 f(a)) (b 1 f(b)) (b 1 f(a)) Differenzen- quotient (mittlere Änderungsrate) Differential­ quotient (Grenzwert des Differenzen- quotienten) Tangente Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv