Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

25 Finanzmathematik 27 Zusatzpension Peter legt sein Erspartes von 9.000€ als einen 25 Jahre lang gebundenen Sparbetrag vorerst zu 1,5% p.a. an, um für eine Zusatzpension anzusparen. Er vereinbart mit der Bank, dass er am Ende des 5. Jahres mit weiteren Einzahlungen beginnt. In den nächsten 5 Jahren zahlt er monatlich vorschüssig 25€ bei einem Zinssatz von 1,5% p.a., danach erhöht er seine Einzahlungen auf das Doppelte, wobei der Zinssatz nur noch 1% p.a. beträgt. a.  Berechnen Sie den Betrag, mit dem Peter zu seinem Pensionsantritt in genau 25 Jahren rechnen kann. ƒƒ Stellen Sie fest, zu welchem durchschnittlichen Jahreszinssatz Peter sein Geld über die 25 Jahre angelegt hat. ƒƒ Ermitteln Sie, nach wie vielen Jahren Peter über ein Kapital von 18.000€ verfügt. b.  Erklären Sie den Unterschied von 3,65€ im Endwert, wenn die Zahlungen nicht vorschüs- sig sondern nachschüssig getätigt werden. ƒƒ Beschreiben Sie die Entwicklung des Kapitals in diesem Fall. c.  Gestalten Sie ein Szenario, bei dem Peter trotz nachschüssiger Zahlungen auf einen End- wert von 23.645,57€ kommt. Entwickeln Sie dazu ein Modell mit einem veränderlichen Zinssatz. ƒƒ Erörtern Sie, ob es günstiger erscheint, zuerst mehr Kapital einzusetzen und danach gleiche Raten einzuzahlen, oder bei gleichem Startkapital die Raten zu erhöhen. 28 Genialer Plan In Utopia möchte ein Finanzmathematiker auf bequeme Weise ein Vermögen anzusammeln. Dazu eröffnet er ein neues Sparkonto und zahlt 74 Cent ein. Am nächsten Tag geht er in Phase 2 seines Planes über und lässt sich für den festgelegten Zeitraum von 1 000 Jahren einfrieren. In der Zwischenzeit soll seine Einlage auf dem Sparkonto durch einen angenommenen Kalkulati- onszinssatz von 3,5% jährlich entsprechend „von selbst“ zu einem Vermögen anwachsen. a.  Ermitteln Sie, wie hoch die Summe des Vermögens nach 1 000 Jahren ist, falls Zinseszins vereinbart wurde. ƒƒ Bestimmen Sie, wie hoch die Summe des Vermögens nach 1 000 Jahren ist, falls einfache Verzinsung vereinbart wurde. ƒƒ Erklären Sie, zu welchem Zeitpunkt sich das Vermögen nach Zinseszins und einfacher Ver- zinsung nicht unterscheidet. b. Die 1 000 Jahre erscheinen doch ein wenig zu lang. Der Finanzmathematiker möchte nun genau wieder erweckt werden, wenn er unter Annahme von Zinseszinsen von seinem Konto am Ende jenes Jahres 500.000€ abheben kann, ohne dass sich sein Vermögen nach Buchung der Zinsen ein Jahr später verkleinert. ƒƒ Geben Sie an, wie dieser Zeitpunkt (am Ende des Jahres nach der Schockfrostung) berech- net werden kann. In den letzten 1 000 Jahren hat sich eine Inflation ergeben, die durchschnittlich mit 2,0% jährlich festgestellt wird. Außer der Inflation hat sich in den letzten 1 000 Jahren auch eine Kapitalertragssteuer von 25% ergeben. ƒƒ Beurteilen Sie, ob der „geniale Plan“ unter Berücksichtigung der Inflation und der Kapital- ertragssteuer wirklich so genial ist c. Dem Finanzmathematiker ist bewusst, dass es zukünftig Erlebensversicherungen geben wird und hat daher dafür gesorgt, dass während der letzten 50 Jahre seiner Schockfrostung eine derartige Erlebensversicherung abgeschlossen wird mit einer Versicherungssumme von 250.000€ und einer jährlichen nachschüssigen Prämie von 673,35€. ƒƒ Beurteilen Sie die Erlebensversicherungen aus der Sicht des Finanzmathematikers. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv