Mathematik anwenden HAK | HUM, Mündliche Reife- und Diplomprüfung, Maturatraining

21 Wachstums- und Abnahmeprozesse 23 Krebstherapie Radium 221, das bei der Krebstherapie eingesetzt wird, zerfällt sehr rasch. Nach einer Sekunde sind bereits 2,45% der Substanz abgebaut. Der Abbau erfolgt nach dem Gesetz N(t) = N 0 ·a t . N(t) … Wert von Radium 221 im Körper nach t Sekunden in Gray 1Gy = 1Gray = 1 J/kg … Angabe der Strahlungsdosis N 0 … Anfangswert von Radium 221 im Körper (zum Zeitpunkt 0) t … Zeit in Sekunden a. Radium zerfällt exponentiell nach dem Gesetz N(t) = N 0 ·a t . Stellen Sie eine Gleichung für den radioaktiven Zerfall für die Zeit t in Sekunden auf. Berechnen Sie, nach welcher Zeit nur noch 0,1% der Ausgangssubstanz vorhanden sind. Geben Sie die Zeit in Minuten und Sekunden an. b. Im Rahmen einer Krebstherapie wird ein Radioisotop mit einer Halbwertszeit von 12 Tagen verabreicht. Die Höchstdosis, die der Körper verträgt, beträgt 10 Gy. Diese darf zu keinem Zeit- punkt überschritten werden. Ein Patient erhält zu Beginn der Behandlung 10Gy. Der Patient erscheint wöchentlich zur Behandlung, bei der ihm die erforderliche Dosis (bis zum Maximal- wert) verabreicht wird. Stellen Sie die Entwicklung der Dosis im Körper über einen Zeitraum von drei Wochen gra- phisch dar. Geben Sie an, wie viel Gray der Patient in den ersten drei Wochen verabreicht bekommen hat. Bestimmen Sie die Höhe des Zerfalls des Radioisotops im Körper pro Tag. c. Die Grafik zeigt den Zerfall von Radium 221. Interpretieren Sie den Graphen in Bezug auf die Zahlen N 0 , a und die Halbwertszeit. Begründen Sie, warum die Masse des zerfallenden Radiums zu keiner Zeit 0 werden kann. Erklären Sie den Unterschied, der sich durch einen linearen Abbau im Sachzusammen- hang ergeben würde. 24 Parfümerie „Alles nur für mich“ Unterschiedliche Faktoren beeinflussen die Nachfrage nach Waren und Dienstleistungen. Die Parfümerie „Alles nur für mich“ hat festgestellt, dass die Nachfrage nach einem ihrer Kosmetik artikel durch die Funktion N mit N(x) = b·(1 – a ‒x ) beschrieben werden kann. Dabei ist x das Ein- kommen in 1.000€ pro Monat (netto) einer Person. N(x) gibt an, wie viel Stück diese Person von dem Kosmetikartikel im Jahr kauft. a. Nehmen Sie an, dass a = 300 und b = 30 ist. Stellen Sie die Funktion N graphisch dar. Ermitteln Sie die Anzahl der Stück, die erwartungsgemäß von einer Person mit einem monatlichen Nettoeinkommen von 2.000€ erworben werden. Überlegen Sie, ob es nach diesem Modell möglich ist, dass eine Person 50 Stück des Pro- duktes kauft. b.  Erklären Sie, warum die Zahl b im Sachzusammenhang nur positiv sein kann. Ermitteln Sie jene Zahlen, die für a aus mathematischen Gründen in Frage kommen. c.  Argumentieren Sie, um welche Art des Wachstums es sich bei N handelt. Erläutern Sie, durch welche anderen Wachstums- und Abnahmefunktionen der Zusam- menhang von monatlichem Nettoeinkommen und Nachfrage nach dem Kosmetikartikel sinnvoll modelliert werden könnte. t in s N(t) in Gy 0 40 80 120 160 200 240 20 60 100 140 180 220 20 80 100 0 40 60 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv